Una condizione per la derivabilità di una funzione
Un teorema abbastanza importante per controllare la derivabilità di una funzione in un punto è il seguente.
Una funzione \(f\) è derivabile in un punto \(x_0\) se e solo se esistono una costante \(a\) e una funzione \(\omega(h)\) tale che
\[\lim_{h\to 0}\omega(h)=0\]
per cui si abbia
\[f(x_0+h)-f(x_0)=ah+h\omega(h)\]
La dimostrazione è molto semplice e procede come segue. Supponiamo dapprima che la funzione sia derivabile e poniamo \(a=f'(x_0)\) e
\[\omega(h)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0),&\mbox{se}&h\neq 0;\\0&\mbox{se}&h=0.\end{array}\right.\]
A questo punto è una semplice questione di calcoli ottenere la formula richiesta.
Supponiamo invece che valga la formula data e dividiamone ambo i membri per \(h\;(\neq 0)\), ottenendo
\[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-a=\omega(h).\]
Se passiamo al limite per \(h\to 0\) otteniamo
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-a=0,\]
ovvero che la funzione è derivabile e che la derivata in \(x_0\) vale \(a\).
Puoi visualizzare un'immagine dinamica che mostra il significato di questa condizione. Nell'immagine proposta il segmento \(DK\) è lungo 1, i segmenti \(MK\) ed \(LK\) forniscono direttamente la tangente trigonometrica degli angoli \(M\hat{D}K\) e \(L\hat{D}K\), cioè i valori della derivata della funzione nel punto \(x_0\) e del rapporto incrementale relativo a \(x_0\) e all'incremento \(h\). La funzione \(\omega(h)\) è allora, a parte il segno, rappresentata dal segmento \(LM\), la cui lunghezza tende a zero al tendere a zero di \(h\), come si può facilmente constatare nell'immagine dinamica, muovendo il punto \(x_0+h\).