Problemi sugli integrali di Riemann e sulle primitive
Problema 1
Sia y=f(x) una funzione continua e dotata di derivate prima e seconda continue per ogni x
reale. Si supponga di sapere che, nei punti di ascissa α e β, la tangente al grafico
forma un angolo, rispettivamente, di π/3 e π/4 con la direzione positiva dell'asse x. Si
calcolino, giustificando le risposte, i seguenti due integrali: 
Problema 2
Tra tutte le funzioni y=f(x) che soddisfano la seguente equazione
x(xy''-1)=1, si determini quella che ha un estremo di valore
0 nel punto
P di ascissa 1. Se ne studi l'andamento. Si calcoli l'area della regione
finita di piano compresa tra la curva, la sua tangente nel punto di flesso, e le rette
x=-2
e 
.
Problema 3
Considerata la funzione 
, ove si suppone che la funzione integranda valga 1 per
t=0
(prolungamento per continuità), si determinino le ascisse dei suoi punti di massimo e di
minimo relativo.
Problema 4
Si risolva la seguente disequazione, in R: 
Problema 5
Al variare dei numeri reali a e b si calcoli il seguente integrale: 
.
Problema 6
Al variare del numero reale a si calcoli il seguente integrale: 
.
Problema 7
Considerata la funzione f(x) = |x| + x, si studi l'andamento della sua primitiva g(x) che nell'origine assume valore zero. Si dica in particolare se g(x) ha derivata seconda nell'origine.
Problema 8
Considerata la funzione 
, se ne trovi il dominio, gli intervalli ove è crescente e quelli ove è
decrescente, gli intervalli ove è convessa e quelli ove è concava.
Problema 9
Data la funzione 
, se ne determini il valor medio integrale nell'intervallo dato. Tale valor medio
appartiene all'insieme immagine della funzione?