Sia y=f(x) una funzione continua e dotata di derivate prima e seconda continue per ogni x reale. Si supponga di sapere che, nei punti di ascissa α e β, la tangente al grafico forma un angolo, rispettivamente, di π/3 e π/4 con la direzione positiva dell'asse x. Si calcolino, giustificando le risposte, i seguenti due integrali:
Tra tutte le funzioni y=f(x) che soddisfano la seguente equazione x(xy''-1)=1, si determini quella che ha un estremo di valore 0 nel punto P di ascissa 1. Se ne studi l'andamento. Si calcoli l'area della regione finita di piano compresa tra la curva, la sua tangente nel punto di flesso, e le rette x=-2 e .
Considerata la funzione , ove si suppone che la funzione integranda valga 1 per t=0 (prolungamento per continuità), si determinino le ascisse dei suoi punti di massimo e di minimo relativo.
Si risolva la seguente disequazione, in R:
Al variare dei numeri reali a e b si calcoli il seguente integrale: .
Al variare del numero reale a si calcoli il seguente integrale: .
Considerata la funzione f(x) = |x| + x, si studi l'andamento della sua primitiva g(x) che nell'origine assume valore zero. Si dica in particolare se g(x) ha derivata seconda nell'origine.
Considerata la funzione , se ne trovi il dominio, gli intervalli ove è crescente e quelli ove è decrescente, gli intervalli ove è convessa e quelli ove è concava.
Data la funzione , se ne determini il valor medio integrale nell'intervallo dato. Tale valor medio appartiene all'insieme immagine della funzione?