Problema 2 - Soluzione
Detti P(x) e Q(x) due polinomi, si consideri la funzione razionale fratta 
. Si determinino i due
polinomi in modo che:
-
il polinomio in due variabili yQ(x)-P(x) sia di terzo grado;
-
la funzione abbia come unico asintoto verticale la retta x+1=0;
-
la funzione abbia come unico asintoto orizzontale la retta 7y+10=0;
-
la funzione abbia un estremo relativo nel punto A(-2,-38/7);
-
il coefficiente del termine di grado massimo del numeratore sia -10.
Tracciare il grafico della funzione così ottenuta.
Schema della soluzione.
Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale diverso dall'asse delle x, il
numeratore e denominatore devono avere lo stesso grado. Poiché inoltre
yQ-P deve
essere di terzo grado, ne segue che sia Q che P devono avere grado 2. Scriviamo la
funzione nella forma: 
. Eseguiamo la divisione e scriviamo la funzione nella forma 
: 
. Sappiamo che la funzione ha
come unico asintoto orizzontale 7y+10=0, quindi 
. Poiché il coefficiente a è
-10, d vale 7. Sappiamo inoltre che la funzione ha un unico asintoto verticale
x+1=0, quindi, ricordando che d=7, possiamo scrivere il denominatore della funzione
come 7(x+1)2. Rimangono da determinare i coefficienti b e c. Sapendo che la
funzione ha un estremo relativo nel punto A di ascissa -2, calcoliamo la derivata e
poniamola uguale a zero: si ottiene -2b+c=2. Utilizzando poi la condizione di passaggio per
A, si ottiene un'ulteriore equazione in b e c. Basta ora risolvere il
sistema 
per
trovare i coefficienti mancanti. La funzione è: 
, e il suo grafico è quasi immediato.
Soluzione di Mauro Tizianel, classe VB Liceo Grigoletti Pordenone, A.S. 2000/2001