Grafici di funzioni reali di variabile reale
Proponiamo nelle pagine di questa raccolta alcuni esercizi risolti sul cosiddetto "studio di funzione". "Studiare" una funzione (reale di variabile reale) significa determinarne le caratteristiche essenziali fino a tracciare un grafico indicativo. Si tratta di uno dei cavalli di battaglia più famosi nei temi sia dell'esame di stato di scuola media superiore, che dei primi esami di analisi all'università. Ora questo problema ha perso gran parte del suo fascino (?!) con l'avvento dei calcolatori che riescono a darci informazioni spesso adeguate in frazioni di secondo. Non sempre però le informazioni desumibili da un grafico al calcolatore sono sufficienti per gli scopi prefissati e, in ogni caso, questo argomento può essere considerato un momento di verifica conclusivo e complessivo delle abilità raggiunte nello studio dell'analisi e di molti altri argomenti trattati in precedenza: equazioni e disequazioni in \(\mathbb{R}\), trigonometria, logaritmi, esponenziali, ecc. Per questo, anche se a nostro avviso non è più il caso di insistere su esercizi tecnicamente complessi, lo studio di funzione continua a rimanere fondamentale nelle prove e nei test.
Raggrupperemo gli esercizi in ordine di difficoltà crescente, anche se una tal classificazione non è sempre univoca e semplice. Considerato lo scopo prevalentemente didattico di queste pagine, le risoluzioni saranno adeguatamente commentate, anche se, naturalmente, tali commenti saranno via via più succinti: si raccomanda pertanto di seguire l'ordine degli esercizi, particolarmente nella sezione "esercizi di avvio".
Segnaliamo esplicitamente che non intendiamo proporre un eserciziario sullo studio di funzione (ce ne sono di ottimi in commercio e anche on-line), quanto piuttosto proporre una serie di esercizi che mettano in luce alcune strategie indispensabili per affrontare con sicurezza questo tipo di problema
Ci occuperemo in maniera quasi esclusiva di funzioni elementari, per le quali uno studio completo può essere fatto, in linea di massima, trattando i punti di seguito indicati.
- Determinazione del dominio naturale. Per le funzioni che ci interessano, si intende con dominio naturale il più ampio sottoinsieme di R dove le operazioni da eseguire per calcolare i valori della funzione hanno senso.
- Determinazione del segno della funzione, cioè dei sottodomini di positività, negatività e dei punti in cui \(f\) si annulla.
- Studio della continuità e determinazione degli eventuali punti di discontinuità.
- Determinazione dei cosiddetti limiti notevoli. Le funzioni indicate sono di solito continue in quasi tutti i punti del loro dominio; ha quindi interesse verificare l'andamento delle funzioni in un intorno dei punti di non continuità o in un intorno dei punti di accumulazione del dominio che non stanno del dominio: sono questi i limiti notevoli.
- Determinazione degli eventuali asintoti.
- Calcolo della derivata prima, determinazione degli eventuali punti di non derivabilità, determinazione degli intervalli di crescenza e decrescenza, determinazione degli eventuali estremi relativi e assoluti.
- Calcolo della derivata seconda, determinazione degli eventuali punti in cui tale derivata non esiste, determinazione degli intervalli di convessità o concavità, determinazione degli eventuali flessi.
- Tracciamento di un grafico indicativo di tutte le informazioni ottenute.
Segnaliamo che non è sempre possibile rispettare esattamente l'ordine indicato: per esempio in alcuni casi la determinazione del segno della funzione deve essere posposto al penultimo punto.