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Geometria e multimedia

Pro e contro i software geometrici

Pro

In questo lavoro abbiamo usato estesamente alcuni software di geometria dinamica, principalmente Cabri nella fase iniziale e successivamente Geogebra. In molti casi le dimostrazioni vere e proprie sono precedute, o seguite, da una "screen-proof", che serve a far capire il senso del ragionamento o della particolare costruzione utilizzata.

Abbiamo inizialmente scelto di presentare le figure interattive realizzate con Cabri, utilizzando CabriJava. Purtroppo l'evolversi continuo delle tecnologie legate ad internet non consentono di garantire sempre una accurata visualizzazione delle applet java nei diversi browser. Se avete difficoltà vi invitiamo a leggere la pagina su JVM, dove sono date alcune indicazioni di massima. In ogni caso in testa a tutte le pagine dove si utilizza questa tecnologia è presente un link che consente di scaricare direttamente la figura Cabri, in modo da poterla utilizzare sul proprio pc, se si ha a disposizione il programma. Abbiamo inoltre predisposto una pagina con indicazioni sull'uso delle figure interattive costruite con Cabri. Un link per raggiungerla è presente in tutte la pagine che usano CabriJava, sotto la voce "istruzioni per l'uso di CabriJava".

Successivamente abbiamo sostituito Cabri con Geogebra, per le ragioni spiegate nella pagina "Perché Geogebra?". Anche per questo software valgono le osservazioni precedenti. Istruzioni per l'uso sono contenute nella pagina "istruzioni per l'uso delle applet create con Geogebra".

Anche la maggior parte delle figure statiche sono state costruite con questi software. Ove ritenuto utile abbiamo anche inserito note ed osservazioni sulla tecnica utilizzata per le costruzioni. Riteniamo infatti oltremodo istruttivo e didatticamente efficace l'uso dei software di geometria dinamica. La versione utilizzata di Cabri è la II.

Anche se è corretto che il ricordo che uno studente si porta dietro della geometria sia quello di una materia in cui ciò che conta sono le prove formali, non crediamo sia giusto tralasciare numerosi importanti risultati solo per la difficoltà della loro dimostrazione. Un software di geometria dinamica può almeno, in questi casi, darci un'idea di come vanno le cose e, in generale, sicuramente aiuta la memorizzazione dei risultati.

Per chiarire questa idea consideriamo il famoso teorema di Feuerbach: il cerchio che passa per i punti medi dei tre lati di un triangolo (detto anche cerchio dei nove punti) è tangente internamente al cerchio inscritto in un triangolo ed esternamente ai tre cerchi ex-inscritti. Questo teorema è stato definito "il più bel risultato di geometria elementare che sia stato scoperto dai tempi di Euclide in poi", ed è doveroso che uno studente di geometria ne abbia conoscenza e ne abbia visto almeno una "prova pratica", viste le difficoltà di una dimostrazione teorica. La "cabri dimostrazione" è quasi banale ed è riportata qui sotto.

Puoi muovere i vertici A, B, C, del triangolo per verificare che il cerchio in rosso (cerchio dei nove punti) è sempre tangente ai quattro cerchi in blu.

Il tuo browser non visualizza le applet Java

Solo per completezza ricordiamo che questo teorema fu provato da Feuerbach all'età di soli 22 anni, nel 1822.

Contro i software geometrici

L'uso di un software di geometria dinamica, come Cabri o Geogebra, oltre a presentare una serie di vantaggi indiscutibili nella formazione di una "cultura geometrica", presenta anche notevoli rischi che bisogna avere sempre presenti. Tra essi ne vogliamo evidenziare alcuni (sostanzialmente dedotti da un interessante articolo di Vinicio Villani pubblicato in http://matematica.uni-bocconi.it/cabri/villani.htm).

Il rischio più grosso è quello che la forza della costruzione visiva e la possibilità di esaminare velocemente situazioni diverse, possa far perdere il gusto e l'interesse per il metodo ipotetico-deduttivo che sta alla base della costruzione di un sistema geometrico.

C'è poi da segnalare il problema della intrinseca "finitezza" delle immagini che si possono costruire su uno schermo, diviso necessariamente in pixel di ampiezza non nulla: le linee che si possono tracciare sullo schermo sono necessariamente costituite da un numero finito di tali pixel. Non c'è alcuna possibilità di avere una rappresentazione visiva delle nozioni di infinito o di continuo, tipiche della geometria. Questo problema era già presente nel disegno tradizionale, ma diventa ora cruciale nell'uso di un qualunque software.

In ogni caso, anche trascurando il problema della finitezza dei pixel bisogna sempre ricordare che una "dimostrazione visiva" è in realtà solo una verifica in casi particolari di una determinata proposizione, seppure le caratteristiche di un qualunque software geometrico consentano di trattare facilmente un numero enorme di tali casi particolari.

Insomma, per dirla sempre con Vinicio Villani, bisogna prestare attenzione ad evitare che la già cattiva FOGLIO-metria degeneri in una, ancor peggiore, SCHERMO-metria.

pagina pubblicata il 18/03/2004 - ultimo aggiornamento il 01/12/2011