I due teoremi di questa pagina portano il nome di Paul Guldin, matematico svizzero (1577-1643), ma in realtà sono già riportati nel libro VII della Collezione di Pappo di Alessandria e costituiscono il più generale risultato di Analisi infinitesimale dell'antichità che si conosca.
Essi contengono due interessanti formule atte a calcolare il baricentro di linee e di superfici.
Riscriviamo le formule che ci hanno condotto ad ottenere l'area della superficie laterale di un solido di rotazione, indicando con li la lunghezza di un lato della spezzata, con yi l'ordinata del punto medio del lato della spezzata, con Si l'area della superficie laterale del tronco di cono, con L la lunghezza dell'arco di curva. Indichiamo poi con G il baricentro dell'arco di curva, pensato omogeneo. L'ordinata y del baricentro può essere approssimata con . L'area della superficie laterale del solido di rivoluzione si può approssimare allora con . La formula varrà senza approssimazione se la lunghezza dei lati della spezzata tende a zero; essa esprime il primo teorema di Guldino: .
La formula permette di ricavare l'ordinata del baricentro della linea, se si riesce a calcolare S ed L. Per calcolare l'ascissa basterà eseguire una rotazione attorno all'asse y.
Consideriamo ora un cilindro circolare retto, ottenuto per rotazione di un rettangolo ABCD attorno al lato AB. Indichiamo con h l'altezza del cilindro (=AB) e con r il raggio di base (=BC). Indichiamo poi con G il baricentro del rettangolo, supposto omogeneo; G dista r/2 da AB.. Per il volume del cilindro si ha allora: , ove A è l'area del rettangolo.
Si può cioè concludere che il volume è dato dall'area del rettangolo per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro del rettangolo stesso.
Riprendiamo ora in esame il procedimento utilizzato per calcolare il volume di un solido di rotazione, che si ottiene facendo la somma dei volumi di tanti cilindri (infinitamente sottili). Detta yGi l'ordinata del baricentro del generico rettangolo (che si trova a metà dell'altezza del rettangolo), possiamo scrivere la seguente formula approssimata per il volume del solido di rotazione: , dove A è l'area totale del trapezoide e è l'ordinata del baricentro del trapezoide stesso. Dunque , in perfetta analogia con la formula relativa al baricentro di una linea piana: questa formula esprime il secondo teorema di Guldino.
La formula permette di ricavare l'ordinata del baricentro del dominio piano, se si riesce a calcolare V ed A. Per calcolare l'ascissa basterà eseguire una rotazione attorno all'asse y.