Consideriamo la funzione f(x)=x/2 e il trapezoide (in questo caso un triangolo) da essa individuato tra l'origine e un punto b. Per calcolare l'integrale possiamo considerare le somme di Cauchy relative ad una particolare suddivisione dell'intervallo [a,b], in parti "infinitamente piccole" dx, ciascuna delle quali avrà un'altezza f(x).
Immaginiamo ora di far ruotare il trapezoide attorno all'asse delle ascisse, di un giro completo, ottenendo un solido di rotazione (in questo caso un cono). Ciascuno dei rettangoli della somma di Cauchy genera un cilindro di altezza dx e di raggio di base f(x): il volume di questi cilindri sarà allora . Nello stesso modo in cui abbiamo concluso che l'area del trapezoide è , potremo concludere che il volume del solido di rotazione è . Si può facilmente controllare la bontà di questo risultato nel caso particolare del cono rappresentato qui di seguito.
Esempio
Calcolare il volume del solido ottenuto da una rotazione completa attorno all'asse delle ascisse del dominio piano limitato dal grafico della funzione , dall'asse delle ascisse e dalle rette x=0, x=4.
Il volume di rotazione è rappresentato nella figura di seguito. Il calcolo del suo volume è facile sulla base della formula sopra riportata: .Si osservi che l'area del trapezoide individuato dal grafico della funzione e dall'asse delle ascisse non è elementarmente calcolabile in quanto la funzione non è elementarmente integrabile.