Il logo di batmath
www.batmath.it
pag.precedente | pag.successiva

Metodi per la ricerca degli asintoti

Asintoti verticali.

La ricerca degli asintoti verticali si fa, secondo la definizione, determinando i punti per cui la funzione ha limite infinito. Tale ricerca, nei casi che ci interessano, si deduce facilmente dal dominio della funzione e da semplici considerazioni, come si vedrà negli esempi che seguono. Ricordiamo che, come già osservato, una funzione può avere infiniti asintoti verticali: un esempio tra le funzioni elementari è fornito da y=tgx , che ha per asintoti tutte le rette img.

Per l'esistenza di un asintoto verticale non è necessario che la funzione abbia un denominatore che si annulla per x=c, come risulta per esempio dalla considerazione della funzione y=lnx che ha come asintoto verticale la retta x=0, nonostante non abbia alcun denominatore; inoltre non è nemmeno sufficiente che la funzione abbia un denominatore che si annulla, come risulta per esempio dalla considerazione della funzione img, che non ha per asintoto verticale la retta x=0, nonostante il suo denominatore si annulli in corrispondenza di 0. Quest'ultima osservazione è da tenere presente anche nel caso delle funzioni razionali fratte (quozienti di polinomi), come è provato dalla funzione img, che non ha asintoti verticali, nonostante il denominatore si annulli in corrispondenza di 1.

Asintoti orizzontali.

Ci riferiremo alle funzioni definite in un intorno di +∞, le considerazioni per le funzioni definite in un intorno di -∞ sono analoghe. La ricerca di questi asintoti si fa calcolando il limite della funzione, per img: se questo limite esiste finito, diciamolo k, allora in base alla definizione la retta y=k è un asintoto orizzontale. Se il limite non esiste o vale ∞ (con o senza segno) non ci sono asintoti orizzontali. Come già detto l'esistenza dell'asintoto orizzontale preclude l'esistenza dell'asintoto obliquo.

Asintoti obliqui.

Sempre con riferimento alle funzioni definite in un intorno di +∞, se il limite considerato nel caso precedente non esiste, non ci sono nemmeno asintoti obliqui. se invece esso è infinito si può osservare quanto segue. Siano m e q due numeri reali, con m≠0, e si osservi che img; se il primo membro, per img, deve avere per limite zero, è necessario che la quantità tra parentesi graffe abbia per limite zero; questo è possibile solo se img, in quanto img. Se ora img, allora f(x)-mx deve avere per limite q, in quanto f(x)-mx-q deve avere per limite zero. Se ne deduce che y=mx+q è un asintoto obliquo solo se img. E' immediato che se, viceversa, img, allora la retta y=mx+q è un asintoto obliquo.

Schema per la ricerca (asintoti orizzontali ed obliqui)

Considerato il caso img, il seguente schema indica come procedere operativamente per la ricerca degli asintoti orizzontali ed obliqui:

schema dei metodi per la ricerca di asintoti

Per il caso di -∞ si procede in maniera perfettamente analoga.

Riportiamo ora alcuni esempi che si riferiscono ad ognuno dei casi contemplati nello schema sopra riportato, nello stesso ordine (tutti i limiti si intendono a +∞).

esempi di metodi per la ricerca di asintotia) La funzione f(x)=sinx non ha limite, dunque non ha asintoti orizzontali od obliqui.

b) La funzione img ha per limite 1, dunque y=1 è asintoto orizzontale.

c) La funzione f(x)=x(sinx+2) tende a +∞, ma f(x)/x non ha limiti, dunque non ci sono asintoti.

d) La funzione f(x)=ex tende a +∞ (niente asintoti orizzontali), ma f(x)/x tende a +∞, dunque non ci sono nemmeno asintoti obliqui.

e) La funzione f(x)=lnx tende a +∞ (niente asintoti orizzontali), ma f(x)/x tende a zero, dunque non ci sono nemmeno asintoti obliqui.

f) La funzione f(x)=x+sinx tende a +∞ (niente asintoti orizzontali), f(x)/x tende a 1, ma f(x)-mx non ha limite, dunque non ci sono nemmeno asintoti obliqui.

g) La funzione img tende a +∞ (niente asintoti orizzontali), f(x)/x tende a 1, ma f(x)-mx tende a +∞, dunque non ci sono nemmeno asintoti obliqui.

h) La funzione img tende a +∞ (niente asintoti orizzontali), f(x)/x tende a 1, f(x)-mx tende a 1, dunque la retta y=x+1 è asintoto obliquo.

pag.precedente | pag.successiva
pagina pubblicata il 01/12/2000 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003