Definizioni
La retta x=c si dice un
asintoto verticale per la funzione y=f(x),
definita in un intorno di un punto c, con 
, se il 
,
oppure il 
, oppure il
, vale
+∞, oppure -∞, oppure ∞.
La retta y=k si dice un
asintoto orizzontale per la funzione y=f(x),
definita in un intorno di +∞, se il 
. Analoga definizione per le funzioni definite in
un intorno di -∞.
La retta y=mx+q
(m≠0) si dice un
asintoto obliquo per la funzione y=f(x),
definita in un intorno di +∞, se il 
.Analoga definizione per le funzioni definite in
un intorno di -∞.
Si noti che una funzione può
avere anche infiniti asintoti verticali, in quanto non ci sono
limiti al numero di punti per i quali la definizione si
applica.
Per il teorema sull'unicità del limite una funzione può invece avere al più due asintoti orizzontali diversi, uno a +∞ e uno a -∞
Sempre per lo stesso motivo una funzione può avere al più due asintoti obliqui diversi, uno a +∞ e uno a -∞, e la presenza di un asintoto orizzontale impedisce la presenza di un asintoto obliquo e viceversa.
Esistono definizioni più restrittive di asintoto, che sono volte soprattutto ad eliminare o perlomeno a ridurre alcuni dei problemi di cui parleremo in seguito.
La definizione data per l'asintoto verticale implica che,
considerati due punti P e Q rispettivamente sul grafico della
funzione e sull'asintoto, e aventi la medesima
ordinata, la differenza 
tende a zero, al tendere di x a c. Per gli asintoti orizzontale
ed obliquo, considerati due punti P e Q come prima, ma aventi la
stessa ascissa, la differenza 
tende a zero, al tendere di x all'infinito.
In maniera perfettamente equivalente si può dire che,
detto P un punto sul grafico della funzione e considerata la sua
distanza PH dall'asintoto, tale distanza tende a zero, al
tendere di P all'infinito. L'equivalenza fra questi due
fatti è evidente per gli asintoti verticali ed
orizzontali, dove PH=PQ; per gli asintoti obliqui basta
osservare che 
, mentre per PH,
calcolando la distanza del punto P(x,f(x)) dalla retta
y=mx+q, si trova 
, e dunque PQ tende a zero se e solo se PH tende a zero.
Asintoto verticale - Asintoto orizzontale - Asintoto obliquo
Tutto questo si può esprimere, con un significativo linguaggio geometrico, dicendo che la curva e il suo asintoto si avvicinano sempre più, man mano che ci si muove sulla curva, "andando all'infinito". Spesso l'asintoto è chiamato "tangente all'infinito" del grafico della curva. Questa espressione, pur significativa, non è sempre corretta, come vedremo con alcuni esempi.