Il caso di un punto ed una retta
Il luogo dei punti equidistanti da un punto ed una retta
Siano dati un punto P ed una retta r. Se il punto P appartiene alla retta r, il luogo dei punti cercati è semplicemente la perpendicolare ad r passante per P. Se il punto P è fuori dalla retta il luogo è la parabola di fuoco P e direttrice r, in base alle ben note proprietà delle coniche. E' chiaro che questa curva non è costruibile con riga e compasso: è possibile comunque trovarne quanti punti si vogliano con diverse costruzioni. Presentiamo qui due tra le più elementari, basate solo sulla definizione.
Prima costruzione:
Si consideri la perpendicolare per P alla retta r. Il punto medio V del segmento PT appartiene ovviamente alla parabola. Se poi si tira da un punto H la perpendicolare ad r, la sua intersezione Q con l'asse del segmento PH appartiene sempre alla parabola. Con un sufficiente numero di punti si può ottenere una buona approssimazione della curva luogo. Puoi vedere un'animazione con CabriJava.
Seconda costruzione
Si considera, con le stesse notazioni di sopra, un punto M sulla perpendicolare per P alla retta r. La circonferenza di centro P e raggio MT interseca la perpendicolare per M ad MT in due punti Q ed R che appartengono al luogo richiesto, in quanto PQ è uguale a QH per costruzione. Anche qui con un sufficiente numero di punti si può ottenere una buona approssimazione della curva luogo. Puoi vedere un'animazione con CabriJava.
Il luogo dei punti con distanze da un punto ed una retta in rapporto dato
Siano dati un punto P, una retta r ed un reale k positivo e diverso da 1. Se P appartiene alla retta r e k<1, il luogo cercato è vuoto, se k>1 il luogo è costituito da due rette incidenti in P e simmetriche rispetto alla perpendicolare in P alla retta r. Escluso questo caso, sia P esterno alla retta r. Allora il luogo cercato è una conica a centro e precisamente un'ellisse se k<1, un'iperbole se k>1. Anche in questo caso le curve luogo non sono tracciabili con riga e compasso, anche se è possibile trovarne quanti punti si voglia con diverse costruzioni. Ne presentiamo qui una, basata unicamente sulla definizione data.
Si consideri una retta d e un punto P. Scelto un punto M arbitrariamente sulla retta d, congiungiamo M con P. I punti che cerchiamo devono appartenere alla retta perpendicolare in M a d e al luogo dei punti tali che QP/QM=k. Tale luogo, come noto, è una circonferenza di Apollonio. Si tratta dunque di costruire questa circonferenza e di trovarne le intersezioni con la perpendicolare per M a d. Nella figura qui sotto si è considerato il caso k=0.7. Ci sono al massimo due punti, Q ed R, che soddisfano alle condizioni date. Al variare di M, Q descrive una semiellisse, mentre R descrive l'altra semiellisse. Se avessimo preso k>1, Q ed R avrebbero descritto i due rami dell'iperbole. Si può vedere una figura dinamica costruita con CabriJava.
