Se una circonferenza ci mette lo zampino
Per trattare il caso in cui uno o entrambi i punti presenti nella definizione di asse di un segmento sono sostituti da una circonferenza, è necessario un breve cenno ad una particolare classe di curve, ottenute dalla generalizzazione della definizione bifocale delle coniche. Questa generalizzazione non è banale e il luogo che si ottiene non è tra quelli considerati a livello elementare. La prima apparizione di queste curve si trova nella Diottrica di Cartesio, un famoso trattato relativo allo studio della rifrazione della luce, dove queste curve intervengono nella risoluzione di un problema ottico. James Clerk Maxwell si interessò a queste curve fin da piccolo e, all'età di 14 anni (!!), scrisse un articolo dal titolo On the description of oval curves, and those having a plurality of foci, discusso in una riunione della Royal Society di Edinburgo il 6 Aprile 1846. In questo lavoro Maxwell generalizza un metodo meccanico per generare le ovali con corde e puntine, simile al metodo del giardiniere per l'ellisse. L'idea era già presente nel lavoro di Cartesio, ma è straordinario che Maxwell avesse già afferrato questo meccanismo a quell'età (e senza disporre di metodi come Cabri per fare i grafici!).
Come è noto, dati due punti E ed F del piano, il luogo dei punti P tali che mPE+nPF=1, con |m|=|n|=1 è un'ellisse o un ramo di iperbole (se non è vuoto). Una immediata generalizzazione di questo luogo si ottiene se si toglie la limitazione |m|=|n|=1; precisamente si dà la seguente definizione:
Si chiama ovale di Cartesio il luogo dei punti P del piano tali che mPE+nPF=k, essendo E ed F due punti fissi detti fuochi, m, n, k costanti reali, con k non nulla. L'equazione cartesiana di questo luogo è una curva di quarto grado (si può provare a fare i conti, scegliendo un sistema di coordinate cartesiane con l'origine, per esempio, nel punto medio tra i due fuochi: si otterrà una curva di quarto grado e bisognerà anche tenere conto che nelle elevazioni al quadrato per eliminare i radicali si possono introdurre soluzione estranee).
A titolo d'esempio proponiamo due grafici: il primo si
riferisce al caso m=2, n=1, k=4.
Abbiamo fissato l'origine nel punto medio tra i due fuochi,
posti nei punti (-1,0) e (1,0). Dopo due elevamenti al quadrato
e relative semplificazioni l'equazione che si ottiene
è: 
. Il grafico proposto
è stato ottenuto con Derive.
Solo la curva più interna fa parte del luogo, l'altra è stata introdotta con i successivi elevamenti al quadrato: si tratta del luogo dei punti per cui 2PE-PF=4.
Nel secondo esempio proposto abbiamo considerato il luogo dei
punti per cui 3PE+2PF=12. Con le stesse scelte di prima
relative agli assi e ai fuochi si ottiene, dopo due elevamenti
al quadrato, l'equazione cartesiana di quarto grado: 
. Anche il grafico seguente è stato
ottenuto con Derive.
Anche in questo caso solo la curva più interna fa parte del luogo, l'altra si riferisce al caso 3PE-2PF=12, ed è stata introdotta dagli elevamenti al quadrato.
Queste curve si possono costruire facilmente anche con Cabri.