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Qualche altro esempio classico

Oltre ai due esempi che abbiamo diffusamente trattato in questa monografia, ci sono alcune altre figure classiche, generate con procedimenti molti simili a quelli che abbiamo considerato, e che vale la pena di ricordare. Naturalmente le possibilità sono infinite e qui ricorderemo solo alcuni dei casi che hanno fatto storia.

1 - Il triangolo (o setaccio) di Sierpinski.

Questo frattale fu introdotto dal topologo polacco Waclaw Sierpinski nel 1915 e ha conosciuto una enorme popolarità. Si parte da un triangolo equilatero, da cui si sopprime. Nella figura qui sotto sono rappresentati i primi tre passi nella costruzione.

triangolo di Sierpinski

E' facile calcolare la sua dimensione di autosimilarità: se si riduce la scala di 1/2 si ottengono tre figure simili alla data, per cui la dimensione è log3/log2≈1.5850. Immaginiamo che il triangolo dato sia rappresentato in un sistema cartesiano ortogonale con i vertici in (0,0), (1,0) e img rispettivamente. Consideriamo poi un'omotetia di centro l'origine e rapporto di omotetia 1/2, img, e la stessa omotetia composta con due traslazioni, img e img. E' evidente che la figura richiesta può essere ottenuta mediante applicazione successiva di queste tre trasformazioni, o, in altre parole, che il triangolo S di Sierpinski è l'unica figura del piano tale che S=T(S), ove T=T1umioneT2unioneT3. L'interesse di questa figura è che è ottenuta a partire da una superficie anziché da un segmento. Anche per essa si possono ripetere considerazioni simili a quelle fatte per l'insieme di Cantor: per esempio la superficie rimasta alla fine è chiaramente nulla, anche se ogni volta si toglie solo un quarto dell'area, lasciandone tre quarti. La sua dimensione è appena un po' più vicina a quella di una superficie (2) che a quella di una linea (1), e quindi è molto di più, dimensionalmente, che non il merletto di Koch.

2 - La spugna di Menger.

Si prende un cubo e lo si divide in 27 cubi di lato 1/3 dell'originario; a questo punto si sopprime il cubo centrale e i sei cubi che stanno al centro delle facce, cioè 7 cubi in tutto. rimanendo con 20 cubi. Si ripete il procedimento su ognuno dei cubi rimasti. Anche in questo caso è facile calcolare la dimensione di autosimilarità, basta osservare che riducendo ad un terzo le dimensioni originali si ottengono 20 copie della figura: la dimensione frattale è dunque log20/log3≈2,727. Poiché è più vicina a tre che a due è più un solido che una superficie, anche se ha volume nullo!

3 - Insiemi di Cantor a misura positiva.

Riprendiamo in considerazione l'intervallo [0,1] e fissiamo un numero k, con 0<k<1. Immaginiamo di sopprimere, anziché l'intervallo centrale di ampiezza 1/3, l'intervallo centrale di ampiezza k/2. Ripetiamo poi il procedimento sopprimendo, da ciascuno dei due intervalli rimasti, la parte centrale di ampiezza k/8, in modo che il totale delle parti rimasse diventi k/2+k/4. Ripetiamo di nuovo il procedimento, sopprimendo da ciascuno dei 4 intervalli rimasti la parte centrale di ampiezza k/32, portando la lunghezza totale soppressa a k/2+k/4+k/8. Ripetendo all'infinito questo procedimento sopprimeremo una unione di segmenti aventi lunghezza totale k: la parte rimasta avrà dunque lunghezza 1-k. Ciascuno degli insiemi così ottenuti si chiama un insieme di Cantor a misura positiva. Per essi la dimensione di Hausdorff-Besicovitch è 1, cioè coincidente con la dimensione topologica, e dunque, strettamente parlando, non si tratta di frattali. Ciò nonostante anche questi insiemi sono perfetti e ovunque non densi, cioè non esiste alcun intervallo di reali contenuto in essi. Si può provare che tutti questi insiemi sono tra di loro omeomorfi.

4 - Costruzione di curve di assegnata dimensione.

Limitandoci a situazioni semplici, vogliamo mostrare come si possa costruire con un procedimento di iterazioni successive, curve di dimensione assegnata. Se per esempio cerchiamo una curva di dimensione 3/2, potremo operare in modo da ottenere img. Si può prendere img e fare in modo che N=8. Un modo per farlo è: 

costruzione di curve di dimensione assegnata.

Un ulteriore esempio si ha con la costruzione seguente, dove N=4 e img. Si ha D=4/3.

costruzione di curve di dimensione assegnata.

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pagina pubblicata il 28/01/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003