Combinazioni - Esercizi risolti
Esercizio 1. In quanti modi si possono
distribuire le 52 carte del bridge a un giocatore? E in
quanti modi lo stesso giocatore può ricevere carte tutte
di valore diverso?
Per la prima parte si tratta di scegliere 13 carte da un totale
di 52, quindi C52,13. Per la seconda parte
si osservi che si tratta di disporre su 13 caselle (in ordine!)
4 simboli (cuori, fiori, quadri, picche): 413.
Esercizio 2. Quante sono le diagonali
di un poligono di n lati?
Se il poligono ha n lati, ha anche n vertici.
Si tratta di calcolare le combinazioni (non conta l'ordine
perché, per esempio, il segmento AB e il segmento BA sono
identici) dei vertici a due a due, e poi togliere i lati. Si
ottiene
Cn,2-n=n(n-3)/2.
Si poteva anche fare un ragionamento elementare: da ogni punto
si può condurre una diagonale ad ogni altro punto, tranne
il punto stesso e i due "adiacenti", dunque
n(n-3); tenendo conto che in questo modo ogni
diagonale viene contata due volte si ritrova il risultato
precedente.
Esercizio 3. Dati n punti nel
piano, quanti sono, al massimo i punti di intersezione delle
rette che congiungono due di essi, se si escludono le
intersezioni sui punti dati?
Ci sono Cn,2 rette che
congiungono i punti. Detto r questo numero, in totale i
punti di intersezione tra le rette sono al massimo
Cr,2 (ogni coppia di rette
può avere un punto di intersezione). Si deve poi tenere
conto che, per ognuno degli n punti dati ci sono
n-1 rette che si intersecano tra di loro in quel punto:
bisogna togliere Cn-1,2
intersezioni dal numero precedente, per ogni punto. Nel caso del
triangolo, per esempio, non ci sono intersezioni possibili del
tipo detto.
Esercizio 4. Dieci copie di un libro
devono essere ripartiti fra quattro scuole. In quanti modi si
può fare? E se ogni scuola ne deve ricevere almeno uno?
Si tratta di un classico problema di suddivisione di k
oggetti identici in n sottoinsiemi, problema
equivalente alle combinazioni con ripetizione di n
oggetti di classe k. Il numero richiesto è
Cr4,10 =
C4+10-1,10 = 286. Se poi ogni scuola deve
riceverne almeno uno allora si tratta di dividere, fra le
quattro scuole, 6 libri invece di 10. Si trovano 84
possibilità.
Esercizio 5. Se si ha a disposizione
una somma di 10000 €, e si decide di investirla, in tranche
da 500 €, in azioni di quattro società, in quanti
modi si può fare?
Si tratta in sostanza di distribuire 20 oggetti identici (le 20
tranche da 500 €) in quattro contenitori diversi, ovvero di
calcolare le combinazioni con ripetizione di quattro oggetti di
classe 20: Cr4,20 =
C4+20-1,20 = 1771.
copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia
pagina pubblicata il 07/05/2004 - ultimo aggiornamento il
26/11/2007
