Disposizioni - Esercizi risolti
Esercizio 1. In una gara con 25
concorrenti vengono premiati i primi cinque.
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Quante sono le possibili assegnazioni dei premi?
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Quante sono le possibili assegnazioni dei premi se si sa che
il concorrente Rossi è sicuramente tra essi?
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Quante sono le possibili assegnazioni dei premi se si sa che
Rossi arriverà secondo?
Nel primo caso basta fare D25,5=6375600. Nel
secondo caso basta disporre i 24 concorrenti diversi da Rossi
nelle quattro posizioni possibili
(D24,4=255024) e poi piazzare Rossi, che
potrà andare in uno dei cinque posti possibili:
255024·5=1275120. Nell'ultimo caso si dovranno solo
piazzare i 24 concorrenti diversi da Rossi nelle quattro
posizioni possibili (D24,4=255024).
Esercizio 2. Quanti sono gli anagrammi
della parola cane?
Si tratta di calcolare le disposizioni di 4 oggetti distinti di
classe 4. Si ottiene 24.
Esercizio 3. Quante sono le possibili
targhe di automobili costruite con due lettere, tre numeri, due
lettere, se l'alfabeto è di 26 simboli e se la prima
lettera del primo gruppo non deve essere la
"z"?
Per quanto riguarda le lettere si tratta di trovare le
disposizioni con ripetizione di 26 oggetti, di classe 4, e poi
togliere quelle che cominciano con zeta; le prime sono
264, le seconde sono le disposizioni di 26 oggetti di
classe 3, ovvero 263. Si ottiene 439400. Naturalmente
si potevano anche disporre tutte le 26 lettere nei posti due,
tre, quattro e solo le 25 lettere diverse da zeta nel posto uno,
ottenendo sempre lo stesso risultato. I numeri di tre cifre
sono, naturalmente, 1000 (si tenga conto che, per esempio, 12
deve essere in realtà pensato come 012). In totale le
targhe possibili sono dunque 439400000.
Esercizio 4. Risolvere l'equazione
Dx,5=3·Dx
,4.
Si deve tenere conto che
xN
x≥5. Dopodiché si può scrivere:
x(
x-1)(
x-2)(
x-3)(
x-4)=3
x(
x-1)(
x-2)(
x-3), ovvero
x=7, soluzione accettabile, date le condizioni.
Esercizio 5. In una gara devono venire
premiati i primi tre classificati per ogni categoria di
partecipanti. Se le categorie sono tre e i partecipanti sono 10,
15, 18 rispettivamente, quante sono le possibili premiazioni?
Si tratta di fare
D10,3·D15,3·
D18,3, ottenendo 9623577600. Come spesso succede
nel calcolo combinatorio si tratta di un numero enorme!
Esercizio 6. Quanti sono i numeri
minori o uguali a 440000 che hanno tre cifre 4 contigue e un
solo 7?
La cosa più semplice da fare è di esaminare i casi
possibili, contandoli in maniera opportuna. Intanto osserviamo
che le tre cifre 4 contigue non possono stare ad inizio numero,
e così pure il 7. Le possibilità sono quelle
indicate di seguito.
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Ci sono 4·8 possibilità del tipo *7444* (Al
primo posto 0,1,2,3; all'ultimo 0,1,2,3,5,6,8,9).
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Ci sono 4·8 possibilità del tipo *7*444 (Al
primo posto 0,1,2,3; al terzo 0,1,2,3,5,6,8,9).
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Ci sono 4·9 possibilità del tipo *4447* (Al
primo posto 0,1,2,3; all'ultimo 0,1,2,3,4,5,6,8,9).
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Ci sono 4·8 possibilità del tipo *444 *7 (Al
primo posto 0,1,2,3; al quinto 0,1,2,3,5,6,8,9).
-
Esaminiamo ora il caso **4447: al primo posto si
può avere 0,1,2,3 e al secondo posto
0,1,2,3,5,6,8,9 (32 possibilità); se invece al
primo posto si ha un 4, al secondo si deve avere 0,1,2,3,
cioè altre quattro possibilità, per un
totale di 36.
-
Esaminiamo infine il caso **7444: al primo posto si
può avere 0,1,2,3 e al secondo posto
0,1,2,3,4,5,6,8,9 (36 possibilità); se invece al
primo posto si ha un 4, al secondo si deve avere 0,1,2,3,
cioè altre quattro possibilità, per un
totale di 40.
In totale 208 possibilità.
Questo esercizio è interessante perché, nella
sostanza, bisogna ridursi a fare un "conteggio
bruto".
Esercizio 7. Quante sono le
applicazioni iniettive di un insieme di 6 elementi in un insieme
di 8 elementi?
Sono D8,6=20160.
Esercizio 8. Quanti sono i numeri di 5
cifre tutte distinte che iniziano con 3?
Si tratta di disporre le cifre diverse da 3 ai posti 2,3,4,5. Si
ottiene D9,4=3024.
Esercizio 9. In quanti modi posso
sistemare 3 camicie diverse (una Blu, una Rossa, una Gialla) in
2 cassetti, se è consentito che un cassetto possa anche
restare vuoto?
Si tratta delle disposizioni, con ripetizione, di 2 oggetti a
tre a tre:
D r2,3 = 2
3
= 8. Le possiamo visualizzare nel seguente schema:
1
|
B-R-G
|
B
|
B-R
|
B-G
|
|
R-G
|
R
|
G
|
2
|
|
R-G
|
G
|
R
|
B-R-G
|
B
|
B-G
|
B-R
|
Le disposizioni richieste si possono anche visualizzare
pensando a 3 caselle, denominate B,R,G da riempire con i
simboli 1,2 che indicano i cassetti dove le camicie vengono
sistemate:
B
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
R
|
1
|
2
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
G
|
1
|
2
|
2
|
1
|
2
|
1
|
2
|
1
|
In questo schema il concetto di "ripetizione"
è più evidente.
copyright 2000 et seq. maddalena falanga & luciano battaia
pagina pubblicata il 07/05/2004 - ultimo aggiornamento il
30/08/2004