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La potenza di un polinomio

La formula di cui vogliamo occuparci costituisce una generalizzazione della formula di Newton per la potenza di un binomio. Si tratta di trovare i coefficienti dello sviluppo di (a1+a2+...+a k)n, essendo ai numeri reali, per ogni i, e k,n numeri naturali.

Si deve fare (a1+a2+...+a k)·(a1+a2+...+ ak)·...·(a1+ a2+...+ak), n volte. Il risultato sarà costituito da una somma di monomi del tipo img, con opportuni coefficienti, per determinare i quali basterà contare quante volte il monomio compare nello sviluppo. Naturalmente si dovrà avere i1+i2+...+i k = n. E' chiaro che per avere il numero di volte che questo monomio compare nello sviluppo basterà tenere conto che bisogna scegliere a1 esattamente i1 volte, a2 i2 volte, ecc. da un totale di n fattori. Il coefficiente sarà quindi img. La formula per lo sviluppo, detta anche formula multinomiale, si può scrivere nel seguente modo:

img

Questa formula giustifica il nome di coefficienti polinomiali o multinomiali dato al numero delle permutazioni tra oggetti non tutti distinti. E' evidente che, nel caso k=2, la formula riproduce quella di Newton.

Il fatto che i1+i2+...+i k = n mostra subito che il numero degli addendi nel precedente sviluppo è dato da Crk,n; la cosa del resto è intuitivamente evidente: ciascuno degli addendi si ottiene combinando i k numeri a1, a2, ..., ak, in gruppi di n, senza tenere conto dell'ordine.

Esempio

Nello sviluppo di (a+b+c+d)7, il coefficiente di a2b3cd è: 7!/(2!·3!·1!·1!) = 420. Il numero totale di addendi in questo sviluppo è Cr4,7 = 120.

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pagina pubblicata il 07/05/2004 - ultimo aggiornamento il 30/08/2004