La potenza di un polinomio
La formula di cui vogliamo occuparci costituisce una generalizzazione della formula di Newton per la potenza di un binomio. Si tratta di trovare i coefficienti dello sviluppo di (a1+a2+...+a k)n, essendo ai numeri reali, per ogni i, e k,n numeri naturali.
Si deve fare
(a1+a2+...+a
k)·(a1+a2+...+
ak)·...·(a1+
a2+...+ak), n
volte. Il risultato sarà costituito da una somma di
monomi del tipo 
, con opportuni
coefficienti, per determinare i quali basterà contare
quante volte il monomio compare nello sviluppo. Naturalmente si
dovrà avere
i1+i2+...+i
k = n. E' chiaro che per avere il numero di
volte che questo monomio compare nello sviluppo basterà
tenere conto che bisogna scegliere a1
esattamente i1 volte, a2
i2 volte, ecc. da un totale di n
fattori. Il coefficiente sarà quindi 
. La formula per lo sviluppo, detta anche formula
multinomiale, si può scrivere nel seguente modo:
Questa formula giustifica il nome di coefficienti polinomiali o multinomiali dato al numero delle permutazioni tra oggetti non tutti distinti. E' evidente che, nel caso k=2, la formula riproduce quella di Newton.
Il fatto che i1+i2+...+i k = n mostra subito che il numero degli addendi nel precedente sviluppo è dato da Crk,n; la cosa del resto è intuitivamente evidente: ciascuno degli addendi si ottiene combinando i k numeri a1, a2, ..., ak, in gruppi di n, senza tenere conto dell'ordine.
Esempio
Nello sviluppo di (a+b+c+d)7, il coefficiente di a2b3cd è: 7!/(2!·3!·1!·1!) = 420. Il numero totale di addendi in questo sviluppo è Cr4,7 = 120.