Forma trigonometrica: esercizi
Esercizio 1 Scrivere in forma
polare il numero: 
.
Si ha, intanto, 
. Si osserva poi che l'angolo individuato
dal numero dato è nel secondo quadrante. Allora da 
oppure da 
si trova 
.
Esercizio 2 Scrivere in forma
polare il numero 
.
Si può procedere eseguendo prima la divisione con la
forma algebrica, e si ottiene 
. Se ne deduce che 
, che θ sta nel primo
quadrante e che 
. Non è immediato trovare l'angolo
notevole del primo quadrante che ha questo coseno. Se cerchiamo
prima le forme polari del numeratore e denominatore troviamo che
. Allora
.
Esercizio 3 Rappresentare nel piano di Gauss le soluzioni dell'equazione Re(z)Im(z)=1.
Si tratta dei punti del piano dove xy=1, ovvero dell'iperbole equilatera della figura qui sotto.
Esercizio
4 Rappresentare nel piano di Gauss le soluzioni
della disequazione |z-i| ≤ 1.
Si può osservare semplicemente che, essendo
|z-w| la distanza tra z e w, le
soluzioni della disequazione sono tutti i punti del piano di
Gauss che hanno distanza non superiore ad 1 dal punto
i=(0,1): si tratta dei punti del cerchio di centro
(0,1) e raggio 1. Per avere una conferma si può
anche porre z=x+iy: si ottiene
|x+(y-1)| ≤ 1 ovvero 
, da cui, elevando al
quadrato, x2+(y-1)2 ≤
1.
Esercizio
5 Risolvere l'equazione
|z|2-z2-2iz=0,
rappresentando le soluzioni nel piano di Gauss.
Posto z=x+iy si ottiene:
x2+y2-(x2-
y2+2xyi)-2ix+2y=0,
ovvero
2y2+2y+i(-2xy-2x)=0.
Uguagliando a zero le parti reale e immaginaria si ha: 
. Le soluzioni
sono: 
. La
loro rappresentazione nel piano complesso è qui a lato.
Esercizio 6 Risolvere l'equazione ||z|-1| = |z-i|.
Posto z=x+iy si ottiene, successivamente
A questo punto si può elevare al quadrato esplicitando la
condizione y≥0 (già implicitamente contenuta
nell'uguaglianza). Si ottiene 
. Le soluzioni sono costituite dai
punti del semiasse immaginario con y≥0.
Esercizio 7 Dati due complessi z e w, dimostrare che |z+w|2+|z-w|2=2|z| 2+2|w|2.
Conviene osservare che, per ogni numero complesso,
|z|2=z
. Si ha:
Da qui segue subito l'uguaglianza
richiesta.
Questa uguaglianza ha un'interessante interpretazione geometrica. Si esamini la figura qui a lato, tenendo conto che il vettore da w a z è z-w.
Se si applica il teorema di Carnot ai due triangoli Owz e Oz(z+w), si trova d2=a2+b2-2 abcosα, c2=a2+b2-2 abcosβ. Se si tiene conto che cosα e cosβ, sommando membro a membro si trova proprio l'uguaglianza proposta.
Esercizio 8 Calcolare 
.
Naturalmente conviene trovare la forma polare del numero. Si ha
ρ=2 e 
, da cui 
. Si ottiene allora: 
.