L'applicazione probabilmente più famosa della scrittura decimale dei reali è una semplicissima dimostrazione della non numerabilità dei reali. La prima dimostrazione di questo risultato è stata pubblicata da G.Cantor nel 1874, sul Giornale di Crelle. Nello stesso articolo si dimostrava sia la numerabilità dei razionali che la non numerabilità dei reali: due risultati stupefacenti e che, in sostanza, rendevano pienamente merito a Zenone che, più di duemila anni prima, aveva intuito che molte proprietà di ordine quantitativo degli insiemi infiniti sono notevolmente diverse da quelle degli insiemi finiti. E' infatti dall'applicazione agli insiemi infiniti di proprietà evidenti degli insiemi finiti che derivano, sostanzialmente, i paradossi di Zenone.
Consideriamo, per semplicità, i reali dell'intervallo
[0,1[. Se x è uno di questi numeri, allora
x=0,a1a2...an... e
possiamo sempre pensare che l'allineamento decimale sia
proprio. Supponiamo che [0,1[ sia numerabile: allora i suoi
elementi possono essere messi in fila e numerati usando i numeri
naturali come indice:
[0,1[={x1,x2,x3,...}, dove ogni
xk ha un suo allineamento decimale, del tipo
. Consideriamo ora il seguente allineamento
decimale
0,b1b2...bn..., ove
, un allineamento decimale costruito quindi
in modo da renderlo diverso da tutti gli allineamenti decimali
dei numeri xk. Questo allineamento
corrisponde ad un reale di [0,1[ diverso da tutti gli
xk. Ciò contraddice l'ipotesi che
i reali di [0,1[ si potessero numerare usando i naturali come
indice.