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I reali come allineamenti decimali

Il problema simmetrico a quello della rappresentazione dei reali come allineamenti decimali è il seguente: è possibile introdurre i reali direttamente come allineamenti decimali, senza passare attraverso le sezioni dei razionali, le classi contigue, o la definizione assiomatica? La cosa è di particolare interesse applicativo, perché, qualunque sia il modo in cui i reali si introducono, è proprio la loro scrittura decimale che poi conta ed è utilizzata. 

Il problema non è tanto quello dell'insieme R: per questo basta considerare l'insieme di tutti gli allineamenti decimali propri. Le difficoltà nascono quando si vuole introdurre su questo insieme la struttura di corpo ordinato. Per esempio come si può introdurre la somma di due allineamenti decimali, o, peggio ancora, il prodotto? Per rendersi conto delle difficoltà si può anche vedere un calcolo interessante relativo ad una particolare frazione.

Osserviamo qui, per esempio, che per introdurre la struttura additiva nell'insieme degli allineamenti decimali non è utile limitarsi agli allineamenti propri: la somma di 0,3333... con 0,6666... darà, naturalmente, 0,9999..., cioè proprio un allineamento improprio. Se si considerano anche gli allineamenti impropri già la definizione di uguaglianza comporta qualche problema, in quanto, per esempio, 215,786000... e 215,785999... dovranno essere uguali dal punto di vista dei numeri che vogliamo introdurre anche se non sono identici dal punto di vista degli allineamenti decimali. In ogni caso, una volta superato questo problema, l'introduzione dell'ordine è abbastanza semplice: si tratta del cosiddetto ordine lessicografico o alfabetico. 

I veri problemi sorgono quando si vogliono introdurre le operazioni di somma e prodotto, e le difficoltà sono legate al fatto che se si sommano i valori approssimati, fino ad una certa cifra, di due reali, la loro somma o il loro prodotto non è l'approssimazione, fino alla stessa cifra, della somma o del prodotto dei due numeri, a causa dei riporti che possono ripetere infinite volte. Per esempio si ha: img, ovvero, in termini di allineamenti decimali, img. Se si usano le approssimazioni fino alla quarta cifra, per esempio per troncamento, si ottiene invece: 0,7777+0,5555=1,3332 che è corretto solo fino alla terza cifra. E il discorso non cambia se si usano le approssimazioni per arrotondamento: si ottiene 0,7778+0,5556=1,3334. 

L'introduzione dei reali in questo modo è comunque possibile in maniera rigorosa, e una trattazione completa ed esaustiva si può trovare, per esempio, in: E.Barozzi, E.Gonzalez, Calculus, Edizioni Libreria Progetto, Padova 1969, Vol.1.

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pagina pubblicata il 10/12/2001 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003