La scrittura decimale degli interi
Siccome vogliamo spiegare come si arriva alla scrittura posizionale, in base 10, degli interi, per fare proprio i pignoli, non diamo la precedenza ad alcuna base all'inizio e per evitare confusioni usiamo la scrittura romana degli interi, con un'aggiunta obbligatoria: lo zero. I naturali saranno allora, in via provvisoria, 0, I, II, III, IV, ecc. Solo per questioni "estetiche" useremo da subito 1 al posto di I.
Il risultato fondamentale che consente di arrivare alla scrittura posizionale dei naturali è il seguente:
Se b è un naturale > 1, per
ogni naturale n esiste una ed una sola successione
ck, ck-1, ..., c1,
c0, di naturali 
, detti cifre, tali che
n=ckbk+c
k-1bk-1+...+c0b
0, e si scrive:
n=(ckck-1...c0)b,
cioè si scrivono solo le cifre affiancate e con
l'indicazione del numero b che viene chiamato base.
In sostanza si usa una scrittura che evidenzia subito, in base alla posizione, a quale potenza della base ciascuna cifra si riferisce. Per evitare confusione i b numeri (cifre) che servono per scrivere il numero n, è opportuno che siano scritti con simboli semplici e tali da non creare confusione quando sono semplicemente scritti uno a fianco dell'altro. E' in particolare obbligatorio usare un simbolo speciale (lo zero) per indicare l'assenza della corrispondente potenza della base.
Il caso b=X, che porta alla scrittura decimale, è di gran lunga il più comune, anche se l'avvento dei calcolatori ha portato in auge altri valori per b, principalmente b=II (scrittura binaria), b=VIII (scrittura ottale), b=XVI (scrittura esadecimale). Si noti che questa proposizione consente di scrivere qualunque numero naturale usando un numero finito di simboli, precisamente b simboli. Si noti altresì che b deve essere almeno II, cioè 1 simbolo non è sufficiente.
Consideriamo per esempio il caso b=III: allora abbiamo III simboli. La scelta più naturale sarebbe {0, I, II}, ma non è adatta perché i simboli si scrivono semplicemente affiancandoli e si potrebbe creare confusione perché II è già un simbolo ottenuto affiancando due I. Meglio usare per le cifre simboli speciali: Visto che siamo abituati alle cifre arabe, è inutile inventare altri simboli e si usano, in questo caso, {0, 1, 2}. E' facile per esempio provare che
CLXXVII = 2(III)IV+0(III)III + 1(III)II + 2(III)I + 0(III)0 = (20120)III.
Si osservi che il numero III, cioè la base, in questa scrittura diventa: (10)III; sarebbe bene non usare mai il simbolo "3", quando si lavora in questa base, per evitare inutili confusioni. La stessa osservazione vale qualunque sia la base b: essa si scrive sempre (10)b.
Se b=X si usano come simboli le consuete dieci cifre arabe e si ha CLXXVII=(177)X. Abitualmente la base in questo caso si omette e si scrive semplicemente 177.
Se b=XVI i simboli utilizzati sono, nell'ordine: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. In questo caso si ottiene: CLXXVII = B(XVI)1 + 1(XVI)0 = (B1)XVI.
E' chiaro che, quanto più grande è b, tanto più corta è la scrittura dei numeri. Questo tipo di scrittura dei numeri naturali ha avuto un enorme successo principalmente per il fatto che le tecniche per eseguire le operazioni possono diventare particolarmente semplici, rispetto a quanto succede con sistemi di notazione non posizionale.
Per concludere ci resta da segnalare solo che per scrivere gli interi negativi si ha solo bisogno di un ulteriore nuovo simbolo: il segno "-".