Per rendere più chiaro il discorso che segue ricordiamo la nomenclatura utilizzata: y=h(x), y=f(t), t=g(x), d=g(c). Considerato un incremento Δx di c, poniamo, come è naturale, Δt=g(c+Δx)-g(c), da cui g(c+Δx)=g(c)+Δt=d+Δ t, e osserviamo che Δt tende a zero se Δx tende a zero (perché la funzione g è continua, in quanto derivabile).
La dimostrazione di questo teorema a questo punto potrebbe essere molto facile se le funzioni si astenessero dal fare brutti scherzi. Se infatti Δt fosse diverso da zero si otterrebbe facilmente: . Purtroppo può tranquillamente succedere che Δt sia zero, per cui il calcolo precedente può non avere senso. I perfezionisti possono trovare la soluzione del problema fra un istante. I lettori non troppo esigenti si possono accontentare della quasi dimostrazione di sopra. Osserviamo che, in termini di rapporti incrementali, il calcolo precedente si può scrivere: , uguaglianza quasi ovvia, se non fosse per il problema accennato.
E torniamo ora, come promesso, ai più esigenti. Si tratta di usare un piccolo trucco per aggirare l'ostacolo. Poniamo . Si ha allora: , uguaglianza valida anche quando Δt=0. É inoltre ovvio che . Riprendendo in esame il limite precedente otteniamo: che rappresenta la conclusione voluta.