Derivata di una funzione composta - dimostrazione
Per rendere più chiaro il discorso che segue ricordiamo la nomenclatura utilizzata: y=h(x), y=f(t), t=g(x), d=g(c). Considerato un incremento Δx di c, poniamo, come è naturale, Δt=g(c+Δx)-g(c), da cui g(c+Δx)=g(c)+Δt=d+Δ t, e osserviamo che Δt tende a zero se Δx tende a zero (perché la funzione g è continua, in quanto derivabile).
La dimostrazione di questo teorema a questo punto potrebbe
essere molto facile se le funzioni si astenessero dal fare
brutti scherzi. Se infatti Δt fosse diverso da
zero si otterrebbe facilmente: 
. Purtroppo può tranquillamente succedere che
Δt sia zero, per cui il calcolo precedente
può non avere senso. I perfezionisti possono trovare la
soluzione del problema fra un istante. I lettori non troppo
esigenti si possono accontentare della quasi
dimostrazione di sopra. Osserviamo che, in termini di
rapporti incrementali, il calcolo precedente si può
scrivere: 
, uguaglianza quasi ovvia,
se non fosse per il problema accennato.
E torniamo ora, come promesso, ai più esigenti. Si tratta
di usare un piccolo trucco per aggirare l'ostacolo. Poniamo
. Si ha allora: 
, uguaglianza valida anche quando Δt=0.
É inoltre ovvio che 
. Riprendendo in esame il limite precedente
otteniamo: 
che rappresenta la
conclusione voluta.