Il logo di batmath
www.batmath.it

Convessità e derivata seconda - dimostrazione

Se f''(c)>0 allora f è convessa in c.

L'equazione della tangente alla funzione in c è: y=f(c)+f'(c)(x-c). La differenza tra le ordinate dei punti sul grafico e le corrispondenti ordinate dei punti della tangente è: d(x)=f(x)-[f(c)+f'(c)(x-c)]. Si ha d(c)=0, d'(c)=0, d''(c)>0. Allora la funzione d' è crescente in c, quindi si ha d'(x)<0 per x<c, mentre d'(x)>0 per x>c. Ciò basta per affermare che d ha un minimo locale in c e quindi che d(c)0 in un intorno di c. Da ciò si deduce che la funzione sta sopra la propria tangente in c, ovvero che è convessa in c.

pagina pubblicata il 01/10/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003