Sia f una funzione derivabile due volte in un
intervallo [a,b].
Allora condizione necessaria e sufficiente perché la
funzione sia convessa è che la derivata prima sia
crescente.
Premettiamo alla dimostrazione di questo teorema una utile condizione caratteristica delle funzioni convesse in un intervallo, che deriva immediatamente dalla definizione.
Presi, nell'intervallo [a.b] tre punti s, t, u, nell'ordine e considerati i punti S, T, U corrispondenti sul grafico della funzione, è immediato verificare che la funzione è convessa se, e solo se, il coefficiente angolare della retta SU è compreso tra quello delle rette ST e TU.
In formule la funzione è convessa se e solo se:
.
Supponiamo allora che la nostra funzione sia convessa e derivabile in [a,b] e consideriamo due punti s ed u, con s<u. Se t è compreso tra s ed u, facendo tendere t ad s nella prima disuguaglianza di sopra e t ad u nella seconda si trova . Ma la funzione è derivabile, e quindi le derivate destre e sinistre coincidono con le derivate. Questo basta per provare che la derivata è crescente.
Supponiamo viceversa che la nostra funzione abbia, in [a,b], derivata crescente e consideriamo, in [a.b], tre punti s, t, u, nell'ordine. Applichiamo il solito teorema di Lagrange (sempre lui!) agli intervalli [s,t] e [t,u]: , , con s<c<t<d<u. Allora . Riducendo allo stesso denominatore, raccogliendo e riordinando si ottiene . Togliendo ad ambo i membri una prima volta f(s) e una seconda volta f(u), semplificando e riordinando si ottengono le due disuguaglianze che caratterizzano la convessità.