Teorema di Darboux - dimostrazione
Se f è derivabile in [a,b] e se l è un reale compreso tra f'(a) e f'(b), allora esiste c in ]a,b[ tale che f'(c) = l.
Supponiamo dapprima che sia f'(a)<0 e f'(b)>0 e mostriamo che esiste c in ]a,b[ dove f'(c)=0. Le ipotesi ora fatte implicano che f è decrescente in a e crescente in b Quindi esiste un intorno destro di a dove f(x)<f(a) e un intorno sinistro di b dove f(x)<f(b). Il minimo di f deve essere allora interno ad [a,b] e, nel punto di minimo, f'(c)=0. Per concludere la dimostrazione basta considerare la funzione g(x)=f(x)-lx e osservare che g'(a)<0, mentre g'(b)>0.