Sia f una funzione definita e derivabile in un intorno
di un punto c escluso il punto c, ma continua
anche in c.
Se la funzione f' ha limite finito, per x
tendente a c, essa è derivabile anche in
c e si ha: .
Se h è tale che c+h sta nell'intorno di c dove f è derivabile, si ha, per il teorema di Lagrange, , con d opportuno e dipendente da h: d=d(h). É immediato che , e allora, per il teorema sul limite delle funzioni composte, . Da qui la conclusione, visto che è il rapporto incrementale di f relativo al punto c.