Derivata di una potenza - dimostrazione
f(x) = xα 
f'(x) = αx α -1
La dimostrazione di questo risultato richiede cautela e deve essere scissa in varie parti.
1. L'esponente è un intero positivo. In questo caso il dominio della funzione è tutto l'insieme R dei reali. Il risultato discende dal seguente calcolo (abbiamo scritto n al posto di α):
.
2. L'esponente è un intero negativo. In questo caso il dominio della funzione è dato dai reali non nulli. Il risultato discende dal seguente calcolo (abbiamo scritto -n al posto di α):
.
Lo stesso risultato poteva essere ricavato, a partire dal caso
dell'esponente intero positivo, utilizzando la regola del
quoziente: 
.
3. L'esponente è non intero. In
questo caso si può porre (almeno per x>0)
xα = eα
lnx (la cosa non era prima possibile
perché anche gli x negativi stavano nel dominio della
funzione). A questo punto si può utilizzare la regola di
derivazione delle funzioni composte: 
. Per x=0, quando è possibile fare la
derivata, si può ragionare per continuità, ma non
intendiamo mettere troppo i puntini sulle i!
4. Il caso dei radicali. Non sempre il caso dei
radicali può essere considerato facente parte del caso 3:
per esempio si ritiene, di norma, che la funzione 
sia definita anche per gli x negativi, e allora
non si può applicare il procedimento sopra indicato. Per
risolvere questi casi si può applicare la regola di
derivazione delle funzioni inverse: sviluppiamo in dettaglio
solo il caso della radice cubica. Se poniamo 
e teniamo conto che f'(x)=3x2,
otteniamo facilmente: 
, in perfetta
sintonia con la formula che andiamo dimostrando.