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Derivate delle funzioni elementari

Per le funzioni elementari è facile determinare la funzione derivata e costruire così una tabella di derivate fondamentali molto utile nella pratica.

É molto importante ribadire che le funzioni elementari, pur essendo continue in tutto il loro dominio, possono non essere derivabili in certi punti: l'esempio classico è la funzione valore assoluto, che non è derivabile nell'origine. In ogni caso la non derivabilità, per le funzioni elementari, è un'eccezione, tanto che all'inizio del calcolo differenziale si era diffusa la convinzione che le funzioni potessero essere sempre derivabili (tranne qualche punto): purtroppo questa errata convinzione è dura a morire e quasi sempre, quando si pensa ad una funzione, si immagina qualcosa che non è molto distante da una curva nel senso intuitivo del termine. Basta provare a scorrere qualche testo di analisi, in particolare per le scuole superiori, per rendersi conto di questo. In realtà le funzioni che interessano nelle applicazioni sono quasi sempre molto più complesse e difficili da trattare: l'insieme delle funzioni elementari è di gran lunga troppo povero e limitato.

Riportiamo nell'elenco che segue le funzioni derivate di tutte le più importanti funzioni elementari. Per la dimostrazione cliccare sull'apposito link (si tenga presente che alcune dimostrazioni richiedono tecniche che saranno presentate nelle pagine successive: abbiamo preferito comunque raggrupparle qui per completezza).

 

1 f(x) = k f'(x) = 0 dim
Nessun problema per il dominio: per entrambe le funzioni coincide con l'insieme dei reali.
2 f(x) = xα  f'(x) = αxα -1 dim
Questa formula si applica a tutti i tipi di potenza, e può essere usata anche per le funzioni radice, scritte sotto forma di potenza, anche se richiede una dimostrazione diversa a seconda dei casi. Bisogna prestare attenzione al dominio, in quanto l'esponente può passare da positivo a negativo (se α è compreso tra 0 e 1). Per esempio mentre x1/2 è definito anche per x=0, la sua derivata è definita solo per x>0, come già osservato.
3 f(x) = sinx f'(x) = cosx dim
Nessun problema per il dominio: per entrambe le funzioni coincide con l'insieme dei reali.
4 f(x) = cosx f'(x) = -sinx dim
Nessun problema per il dominio: per entrambe le funzioni coincide con l'insieme dei reali.
5 f(x) = ex f'(x) = ex dim
Il fatto che la derivata della funzione esponenziale (di base e) sia così semplice è uno dei motivi per cui in analisi si usa sempre il numero e come base di queste funzioni.
6 f(x) = ln|x| img dim
Se ci si limita a considerare gli x>0, naturalmente si potrà trascurare il simbolo di valore assoluto; in questo caso la derivata sarà definita solo per x>0. Anche per il logaritmo naturale si può osservare che la sua importanza in analisi è strettamente legata al fatto che la sua derivata è proprio la funzione di proporzionalità inversa.
7 f(x) = arctgx img dim
Sia la funzione arctg che la sua derivata sono definite su tutto R. La funzione arctg ha una grande importanza in analisi anche per come è fatta la sua derivata: questa espressione sarà molto importante nello studio delle primitive delle funzioni razionali.
8 f(x) = arcsinx img dim
Il dominio della funzione derivata non comprende i punti +1 e -1 che invece appartengono al dominio della funzione arcseno: in questi due punti la funzione arcseno ammette una tangente  verticale.
9 f(x) = arccosx img dim
Il dominio della funzione derivata non comprende i punti +1 e -1 che invece appartengono al dominio della funzione arccoseno: in questi due punti la funzione arccoseno ammette una tangente  verticale. Si noti come le funzioni arcseno e arccoseno abbiano derivate che differiscono solo nel segno.
10 f(x) = tgx img dim
Per entrambe le funzioni il dominio è costituito dai reali da cui vanno esclusi i multipli dispari di π/2. É utile memorizzare la derivata della funzione tangente, anche se all'occorrenza essa può essere ricavata utilizzando la derivata del quoziente.
11 f(x) = ax f'(x) = axlna dim
Può essere conveniente memorizzare questa formula; in ogni caso è possibile ricavarla usando la derivata della funzione composta, osservando che ax = exlna.
12 f(x) = logax img dim
Anche questa formula può essere ricavata all'occorrenza dalla formula del cambiamento di base dei logaritmi: img.
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pagina pubblicata il 01/10/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003