Altre curve
Un altro esempio interessante di "curva patologica" è quello fornito da Hilbert.
Partendo da un quadrato, suddividiamolo in quattro quadrati e congiungiamo i centri come nella figura qui sotto.
Suddividiamo a sua volta ciascuno di questi quadrati più piccoli in quattro e congiungiamo i loro centri, cominciando sempre dal quadrato in basso a sinistra e terminando in quello in basso a destra. Otterremo una figura come quella qui sotto.
Procediamo con un ulteriore suddivisione, sempre con lo stesso criterio, come nella figura qui sotto.
Se procediamo nella suddivisione dei quadrati con lo stesso criterio, al limite otterremo una curva che riempirà tutto il quadrato, e anch'essa, come la curva di Von Koch, sarà tutta "costituita da spigoli". La proprietà di riempire il quadrato è abbastanza strana, visto che la curva, come ogni curva, è "senza spessore".
Puoi vedere l'animazione qui di seguito per capire la tecnica della costruzione.
Curve così patologiche come quelle considerate in questa monografia sembrano non avere alcun interesse pratico. A chi la pensa così suggeriamo di leggere il testo Fractals, form, chance, and dimension di Benoit M.Mandelbrot, e di provare a rispondere a questa domanda, contenuta nel testo citato: quanto è lunga la costa della Gran Bretagna se si vuole tenere conto di tutte, anche le più piccole, frastagliature?.
Considerazioni su curve come queste hanno condotto alla teoria dei Frattali, cioè allo studio approfondito del concetto di dimensione, il cui risultato più eclatante è contenuto nel fatto che i sottoinsiemi di punti dello spazio non hanno necessariamente dimensione zero (come il punto) o uno (come la retta) o due (come il piano), ma esistono sottoinsiemi anche con dimensione frazionaria (da cui appunto il nome di Frattali): tra questi anche le curve di Von Koch e di Hilbert.