Che cos'é la topologia?
L'enucleazione di queste proprietà del concetto di intorno ha dato origine ad un nuovo importantissimo capitolo della matematica: la Topologia. Precisamente si dà la seguente definizione:
Si chiama Spazio
topologico un insieme E per ogni punto
c del quale è assegnata una famiglia 
di sottoinsiemi di E (che verranno detti
intorni di c), verificante gli assiomi
A1, A2,
A3, A4. Se inoltre la
famiglia verifica anche l'assioma A5,
allora lo spazio topologico è detto separato. L'assegnazione della
famiglia di intorni per ogni punto di E costituisce la
Topologia di E.
Si può ricordare che questo tipo di procedimento di generalizzazione è abbastanza comune in matematica. Per citare un caso elementare basta ricordare la teoria delle potenze dove, a partire da una definizione basata sul concetto di prodotto di fattori tutti uguali, si perviene ad un concetto molto più generale come quello di potenza ad esponente reale, proprio lavorando sulle proprietà delle potenze più che sulla specifica definizione di potenza.
Per completezza riportiamo un esempio di possibile Topologia su R diversa da quella usuale. Considerato un numero reale c qualunque si può definire intorno di c ogni soprainsieme di una semiretta aperta inferiormente illimitata contenente c. É facile verificare che sono verificate le proprietà 1-4 degli intorni, ma non la proprietà 5: due punti qualunque non possono avere intorni disgiunti, in quanto ogni intorno del maggiore dei due deve necessariamente contenere il minore. Con questa strana topologia tutti i punti che precedono un determinato punto c sono sempre "vicini" a c, qualunque sia il "grado di vicinanza" che si vuole scegliere: si potrebbe dire che sono "vicini a c in senso assoluto". Una topologia come questa non ha praticamente nessun interesse nelle applicazioni.