Limiti di restrizioni
In molte situazioni ha interesse il seguente teorema:
Sia data una funzione 
e sia c un punto di accumulazione per
A. Sia poi T un sottoinsieme di A
avente ancora c come punto di accumulazione e si
consideri la restrizione f* di f
all'insieme T. Se 
, allora anche 
.
La dimostrazione è immediata.
Basta solo osservare che se le immagini dei punti di 
stanno in un prefissato intorno
di l, a maggior ragione ciò succede per le
immagini dei punti di 
.
É molto importante segnalare
che non vale il viceversa di questo teorema. Data per esempio la
funzione 
, essa non ha limite quando x tende a zero,
mentre se si considera la sua restrizione ai reali positivi il
limite esiste e vale 1.
Nel caso delle funzioni di variabile reale, detto c un punto di accumulazione per il dominio, sono molto importanti due particolari restrizioni di una funzione e precisamente:
- la restrizione ai punti del dominio maggiori di c: la indicheremo con f+
- la restrizione ai punti del dominio minori di c: la indicheremo con f-
Il 
viene detto
limite destro o da destra, e si usa
scrivere 
, mentre il
viene detto
limite sinistro o da sinistra e si
usa scrivere 
.
In questo caso vale il seguente teorema, di ovvia dimostrazione:
Se i limiti destro e sinistro esistono e sono uguali, allora esiste anche il limite (che è ovviamente uguale al comune valore dei due limiti destro e sinistro).
Questo teorema ha grande utilità pratica, in quanto spesso è molto più facile il calcolo dei limiti destro e sinistro che non quello del limite in generale. Anzi di solito si ricercano separatamente i limiti destro e sinistro: se essi sono uguali allora si è determinato il valore del limite, se essi sono diversi si può subito affermare che il limite non esiste.
E' spesso utile nelle applicazioni anche il seguente teorema, di immediata dimostrazione:
Se una funzione ha limite, per x tendente a c, e se una sua restrizione ha limite l, allora anche la funzione ha limite l.
In sostanza questo ci consente di calcolare il limite solo su una opportuna restrizione, una volta che sappiamo che il limite esiste(!).