I teoremi fondamentali
Teorema dell'unicità del limite: Se il limite di una funzione, per x tendente a c, esiste, esso è unico.
Supponiamo, per assurdo, che: 
. Allora, in corrispondenza di ogni intorno
Vl, esiste un intorno 
e, contemporaneamente, per ogni intorno
Wm esiste un intorno 
. Se prendiamo, come è possibile, gli intorni
V e W disgiunti e consideriamo le x
che stanno nell'intersezione dei due intorni di c
che abbiamo trovato, esse hanno immagini che stanno sia in
V che in W, la qual cosa è impossibile
ovviamente.
Si noti come, in questo teorema, sia essenziale il fatto che un punto non possa avere due intorni disgiunti, proprietà che l'insieme dei reali possiede se si introduce la topologia come noi abbiamo fatto.
Teorema della permanenza del segno: Se il limite di una funzione, per x tendente a c, è diverso da zero, allora esiste un intorno di c nel quale la funzione ha lo stesso segno del limite.
Supponiamo, per fissare le idee, che il limite l sia maggiore di zero. Allora è possibile prendere un intorno V di l costituito solo da numeri positivi. In corrispondenza ad esso è possibile determinare un intorno di c tale che le immagini dei suoi punti, tramite f, stiano in V, cioè siano positive, che è quanto si voleva provare.
Si noti che è fondamentale che l sia non nullo:
si ha, per esempio, 
e non esiste alcun
intorno di π nel quale la funzione seno è di
segno costante.
Teorema dei due
carabinieri: Si considerino tre funzioni f,
h e g, aventi c come punto di
accumulazione. Si supponga che, almeno in un intorno U
di c, si abbia: 
e che le due
funzioni f e g abbiano, per x tendente a
c, lo stesso limite l. Allora anche la
funzione h ha lo stesso limite.
La dimostrazione di questo teorema è immediata: basta fissare un arbitrario intorno Vl e determinare un intorno W di c tale che le immagini dei suoi punti, sia tramite f che tramite g cadano in Vl. Se si considerano i punti dell'intersezione tra W e U, anche le loro immagini tramite h cadranno in Vl: questo basta per concludere nel senso del teorema.
L'origine del nome di questo teorema è legato alla comune immagine di due carabinieri che stringono un carcerato ai lati.