La retta reale estesa
Per i problemi connessi col concetto di limite, la retta dei numeri reali non è sufficiente a trattare tutti i casi di interesse applicativo. Per questo è opportuno estendere la retta stessa aggiungendovi nuovi elementi. Il problema è tutt'altro che banale e può dare luogo a gravi equivoci e fraintendimenti, anche perché spesso, come vedremo, il problema non viene affrontato con il dovuto rigore.
Ci sono, sostanzialmente, due modi, tra di loro incompatibili, per realizzare l'ampliamento della retta reale, a seconda che si desideri mantenere oppure no la struttura di ordine totale presente in R.
Ampliamento con due punti: +∞ e -∞ .
Chiameremo Retta reale ampliata
l'insieme 
, dove gli oggetti
"+∞" e "-∞" si leggono
"più infinito" e "meno
infinito" e, per ora, non hanno alcun particolare
significato. Sulla retta ampliata introduciamo una struttura di
ordine totale: converremo che -∞ preceda tutti i punti di
R e +∞ li segua tutti e che sia, come
deve essere per coerenza con l'assunzione precedente,
-∞<+∞. Se ci riferiamo alla retta ampliata
possiamo anche indicare l'insieme 
con [b,+∞], e analogamente per gli altri esempi di
intervalli illimitati: comunque, per non ingenerare confusione,
eviteremo scritture di questo tipo.
Occorre subito evidenziare che, purtroppo, non
esiste alcuna possibilità di estendere alla retta
ampliata la struttura di corpo in modo che le operazioni tra gli
elementi di R continuino a funzionare come
prima.
Questa limitazione è molto severa e bisogna sempre ricordare che i due oggetti -∞ e +∞ non sono numeri, proprio perché ad essi non si possono estendere le operazioni in modo da mantenere le proprietà usuali.
Questa estensione ha una importante conseguenza sulla proprietà dell'estremo superiore nei numeri reali (una proprietà cruciale che distingue i reali dai razionali): ogni insieme non vuoto ha, nella retta ampliata, sempre estremo superiore, eventualmente +∞. In R questa proprietà vale solo per gli insiemi superiormente limitati.
Poiché però l'estensione è stata fatta per problemi legati al concetto di limite, occupiamoci della introduzione, nella retta ampliata, della nozione di intorno. Sui punti di R la definizione sarà quella già nota; per quanto riguarda -∞ e +∞ la definizione è la seguente: diremo intorno di -∞ un qualunque soprainsieme di una semiretta inferiormente illimitata, intorno di +∞ un qualunque soprainsieme di una semiretta superiormente illimitata. Naturalmente, come già fatto per gli intorni dei numeri reali, non avremo bisogno di intorni così complessi e ci limiteremo, nel seguito, solo alle semirette rispettivamente inferiormente e superiormente illimitate. In questo modo, come è facile verificare, valgono le proprietà usuali degli intorni, compresa la A5, per cui la retta ampliata diventa uno spazio topologico separato.
La retta ampliata con due punti è sostanzialmente identica ad un intervallo chiuso e limitato, in un senso che apparirà chiaro quando avremo il concetto di omeomorfismo: in senso intuitivo vuol dire che la retta ampliata e un intervallo chiuso e limitato possono essere deformati uno nell'altro senza strappi. Secondo lo stesso concetto la retta ordinaria è, invece, identica ad un intervallo aperto e limitato.
Ampliamento con un punto: ∞.
In alternativa alla definizione precedente si
può chiamare Retta reale
ampliata l'insieme 
, dove l'oggetto "∞" si legge
"infinito senza segno" e non ha, per ora
alcun particolare significato. Sulla retta ampliata in questo
modo non si può nemmeno introdurre una relazione di
ordine totale che mantenga le proprietà già note
per i numeri reali.
Con questo ampliamento non solo si perde la
struttura algebrica, ma anche la relazione d'ordine.
La retta ampliata con un solo punto è sostanzialmente identica, nel senso sopra precisato, ad una circonferenza: è come se avessimo preso gli "estremi della retta" tirandoli fino a farli coincidere.
Osservazioni
Come abbiamo già sottolineato i due ampliamenti sopra considerati sono alternativi e non possono essere fatti contemporaneamente. Purtroppo non c'è una convenzione universalmente accettata e, anche all'interno di uno stesso testo, spesso si considerano entrambi, scegliendo l'uno o l'altro a seconda della convenienza e senza indicazioni precise. Di solito questo modo di procedere non porta inconvenienti gravi, ma bisogna prestare attenzione per non cadere in grossolani errori, per esempio con l'applicazione del teorema di unicità del limite di cui parleremo più avanti.
Anche noi ci atterremo a questa abitudine e sarà sottinteso che, quando parleremo di +∞ o di -∞, avremo considerato il primo ampliamento, quando parleremo di ∞ avremo considerato il secondo ampliamento.
É molto importante che, essendo il concetto di punto di accumulazione basato solo sul concetto di intorno, con questi ampliamenti anche i "punti" +∞ e -∞, oppure ∞, a seconda dei casi, possono diventare punti di accumulazione per un insieme e precisamente questo succede per gli insiemi superiormente illimitati (punto di accumulazione +∞), inferiormente illimitati (punto di accumulazione -∞) o illimitati (punto di accumulazione ∞).