Singolarità e classificazione
Se una funzione non è continua in un punto c del suo dominio si dice che c è un punto di discontinuità o singolarità . Per estensione si usa il termine punto di singolarità anche per i punti c che non appartengono al dominio, ma sono di accumulazione per il dominio. In alcuni testi si usa anche in questo caso parlare di punto di discontinuità: riteniamo impropria la locuzione, in quanto, per definizione, una funzione può essere continua (e quindi anche discontinua) solo nei punti del dominio. In ogni caso ciò che conta è il significato e basta mettersi d'accordo.
Noi daremo la seguente definizione:
Sia data una funzione 
e sia c un numero reale. Diremo che c è un punto di
singolarità per f se:
- c appartiene a D, ma la funzione non è continua in c (che deve dunque essere di accumulazione per D);
- c non appartiene a D, ma è di accumulazione per D.
Data l'importanza che i punti di singolarità hanno nelle applicazioni, si usa classificarli, nel seguente modo (anche se questa nomenclatura non è universale):
-
c si dice una singolarità
eliminabile (o artificiale) se
.
-
c si dice una singolarità di prima
specie se
; si usa anche il
termine salto per questo caso (il valore
|l-m| si chiama a volte proprio salto o gradino).
- c si dice una singolarità di seconda specie in tutti gli altri casi.
L'aggettivo eliminabile deriva dal fatto che data la
funzione f che abbia in c una
singolarità di questo tipo, la funzione 
è continua in c.
Esempi
-
La funzione
ha, in zero, una
singolarità eliminabile.
- La funzione f(x) = signum(x) ha, in zero, un salto, di valore 2.
-
La funzione
ha, in zero, una
singolarità di seconda specie.
-
La funzione
ha, in zero, una
singolarità di seconda specie.
-
La funzione
ha, in
zero, una singolarità eliminabile.
-
La funzione
ha, in zero, una
singolarità di seconda specie.
-
La funzione
ha, in zero, un salto,
di valore 2.