I numeri naturali
"Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo": in questa celebre frase di Leopold Kronecker (1823-1891) è contenuta l'idea che i numeri naturali sono un concetto primitivo, in un certo senso innato nell'uomo. Studi abbastanza recenti (vedi per esempio alcuni risultati in Keith Devlin, Il gene della matematica, Longanesi 2002) provano che anche bambini neonati hanno la capacità di "contare" fino a due o tre, e che molti animali riescono a farlo, seppure sempre in maniera più approssimata man mano che si cresce oltre il tre.
In realtà il significato della affermazione di Kronecker è un po' più complesso, in quanto Kronecker, in contrasto con Cantor e rifacendosi alle idee pitagoriche, voleva che l'aritmetica e l'analisi venissero basate sui numeri interi: egli rifiutava la costruzione dei numeri reali comunemente usata dai matematici del tempo e invocava una rivoluzione aritmetica che avrebbe dovuto mettere al bando come inesistenti i numeri irrazionali.
Giuseppe Peano (1858-1932) (tra l'altro introduttore di
alcuni dei simboli ancora oggi comunemente usati, come 
, 
, ∩),
per i suoi fondamenti dell'aritmetica sceglie tre concetti
primitivi:
- zero;
- numero (intero non negativo);
- la relazione "essere il successivo di".
Questi concetti soddisfano i seguenti cinque postulati:
- Zero è un numero.
- Se a è un numero, il successivo di a è un numero.
- Zero non è il successivo di nessun numero.
- Due numeri, i cui successivi sono uguali, sono essi stessi uguali.
- Se un insieme S di numeri contiene zero e contiene anche il successivo di ogni numero contenuto in S, allora ogni numero è contenuto in S (assioma di induzione).
Il lavoro di Peano rappresenta probabilmente il miglior tentativo di ridurre l'aritmetica, e quindi tutta la matematica, a puro simbolismo formale (i postulati sopra ricordati sono naturalmente espressi da Peano in simboli e non con il linguaggio comune che qui abbiamo usato).
Un sistema per costruire operativamente i numeri naturali
potrebbe essere quello di considerare le cardinalità dei
seguenti insiemi: 
Per gli scopi di queste pagine, comunque, quello che interessa non è tanto la natura o il modo di introdurre i numeri naturali, quanto alcune delle loro proprietà e precisamente:
- Il fatto che, come insieme, i naturali hanno una certa cardinalità.
- Il fatto che sull'insieme dei naturali si possano eseguire le operazioni di somma e prodotto le quali godono di certe proprietà.
- Come conseguenza delle proprietà delle operazioni, la possibilità di risolvere certe equazioni e l'impossibilità di risolverne altre.
- Il fatto che l'insieme dei naturali è un insieme ordinato con certe caratteristiche.
Cardinalità
L'insieme dei naturali è un insieme infinito ed
è anzi il "più piccolo" insieme
infinito: la sua cardinalità è indicata con 
0 e ogni altro cardinale transfinito
è maggiore di 0.
Operazioni e proprietà
Le operazione di somma e prodotto godono delle seguenti proprietà:
- Associativa.
- Esistenza dell'elemento neutro (rispettivamente 0 ed 1) (Non tutti gli autori concordano, come facciamo noi, con Peano, sull'inserimento dello zero tra i naturali. In ogni caso è una questione di poco conto, e basta controllare l'elenco dei simboli che ogni buon testo di matematica dovrebbe avere.)
- Commutativa.
Per contro nessuna delle due gode della proprietà dell'esistenza del simmetrico (se si escludono lo zero e l'uno che sono, naturalmente, il simmetrico di se stessi rispettivamente per l'addizione e la moltiplicazione). In termini tecnici ciò equivale a dire che i naturali sono un monoide (o semigruppo) abeliano dotato di unità sia rispetto alla somma che rispetto al prodotto, ma non sono un gruppo rispetto a nessuna delle due operazioni.
Risoluzione di equazioni
Le proprietà indicate delle operazioni di somma e prodotto consentono, in N, di risolvere equazioni di primo grado del tipo x+1=2, o 2x=4, ma non equazioni del tipo x+3=2, o 2x=3.
Proprietà legate all'ordine
Nell'insieme dei numeri naturali è naturalmente definita una relazione di ordine totale, con minimo elemento (lo zero). L'ordine esistente nei naturali è in realtà molto speciale e in effetti gode di una ulteriore proprietà rispetto alle normali relazioni di ordine, la cosiddetta proprietà del buon ordinamento:
- Ogni sottoinsieme non vuoto di N ha un minimo elemento.
In sostanza questa proprietà traduce in una formulazione rigorosa il fatto che ogni naturale ha un successivo e che tra un naturale e il suo successivo non c'è alcun altro numero.
Perché non accontentarsi?
Questo insieme numerico non è sufficiente per gli scopi della matematica, sostanzialmente per il fatto che le operazioni di somma e prodotto non godono della proprietà dell'esistenza del simmetrico. Questo impedisce di risolvere equazioni come quelle sopra riportate.
Per fronteggiare questa situazione si procede per gradi, introducendo innanzitutto un insieme che sia gruppo rispetto alla somma: l'insieme degli interi.