La cardinalità dei reali
Che l'insieme dei reali abbia una cardinalità maggiore di quella dei naturali si può provare in maniera abbastanza semplice, con il seguente ragionamento.
Supponiamo che esista una corrispondenza biunivoca tra l'insieme N e l'insieme R. Allora è possibile scrivere in una tabella con una sola colonna (e infinite righe) tutti i numeri reali. Consideriamo il numero reale così costruito:
- Davanti alla virgola ha un numero diverso da m1;
- come prima cifra dopo la virgola ha 0 se a21 è diverso da zero, 1 altrimenti;
- come seconda cifra dopo la virgola ha 0 se a31 è diverso da zero, 1 altrimenti;
- come terza cifra dopo la virgola ha 0 se a41 è diverso da zero, 1 altrimenti;
- ecc.
| m1,a11a12a13a 14a15... |
| m2,a21a22a23a 24a25... |
| m3,a31a32a33a 34a35... |
| m4,a41a42a43a 44a45... |
| m5,a51a52a53a 54a55... |
| ... |
Questo numero non trova posto in alcuna riga della nostra
tabella, in quanto è diverso, per costruzione, da
ciascuno dei numeri già inseriti nelle righe.
L'ipotesi che esista una corrispondenza biunivoca è
assurda: la cardinalità di R è
strettamente più grande di quella di N e
quindi anche di Q: essa si indica con 
1.