I numeri reali
Purtroppo l'introduzione dei numeri reali non può essere fatta in maniera elementare come si è fatto con gli interi e i razionali. Ci sono varie strategie possibili, ma tutte esulano dagli scopi di questa breve monografia.
Ci limiteremo ad una introduzione intuitiva che renda l'idea di come si procede e di quali sono le difficoltà.
Fissiamo l'attenzione sul problema di risolvere l'equazione x2 = 2 e andiamo alla ricerca delle migliori soluzioni approssimate per difetto, rispettivamente con una, due, tre, ecc. cifre decimali esatte. Si può facilmente costruire la tabella qui sotto.
| Cifre dec. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
| x | 1 | 1.4 | 1.41 | 1.414 | 1.4142 | 1.41421 | 1.414213 | ... |
| x2 | 1 | 1.96 | 1.9881 | 1.999396 | 1.99996164 | 1.9999899241 | 1.999998409369 | ... |
Così facendo si viene a costruire una successione numerica: 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ..., di numeri il cui quadrato è minore di 2, ma costituenti la migliore approssimazione per difetto di una soluzione "esatta" dell'equazione x2 = 2, a quel livello di cifre decimali esatte.
Questa successione, al tendere all'infinito del numero di cifre decimali esatte richieste, non ha alcun valore limite nell'insieme dei numeri razionali. Ciò significa che non potrà succedere che la successione di cifre decimali diventi, a partire da un certo valore, periodica. Questo ci suggerisce di introdurre un nuovo insieme, l'insieme di "tutti gli allineamenti decimali", periodici e non, e di andare a cercare tra essi il valore limite a cui tende questa successione. L'idea ha successo (un breve cenno si può vedere nella pagina sugli allineamenti decimali) e porta all'introduzione, proprio tramite gli allineamenti decimali, di un nuovo insieme numerico, detto insieme dei numeri reali (indicato con R), di cui l'insieme dei razionali è una parte (piccola come vedremo!). La cosa interessante è che in questo insieme si possono introdurre le operazioni di somma e prodotto e un ordine che siano un ampliamento di quello che già c'era sui razionali.
Naturalmente gli allineamenti decimali finiti o periodici coincideranno con i vecchi numeri razionali: questo insieme potrà essere pensato come un'estensione dell'insieme Q.
Osservazioni
Per quanto concerne lo scopo di queste pagine ci interessano i seguenti fatti:
- Questo insieme di numeri ha una cardinalità maggiore rispetto a quella dei naturali (ha cioè più elementi).
- Per quanto riguarda la struttura algebrica non ci sono novità essenziali: l'insieme è sempre un corpo commutativo con le operazioni di somma e prodotto.
- Le equazioni del tipo x2 = a (con a>0) sono sempre risolubili.
- Dal punto di vista dell'ordine c'è una novità sostanziale, anche se difficile da apprezzare a prima vista. Si tratta della cosiddetta proprietà dell'estremo superiore che afferma che Ogni insieme non vuoto e superiormente limitato ha un estremo superiore, ovvero che Dato un insieme non vuoto e superiormente limitato ci sono solo due possibilità: o l'insieme stesso ha un massimo, oppure l'insieme di tutti i maggioranti ha un minimo. Un insieme che gode di questa proprietà si dice completo.
A questo punto si potrebbe essere soddisfatti: tutti i problemi che abbiamo via via incontrato hanno trovato una soluzione soddisfacente in questo insieme numerico, che, oltretutto, si è anche arricchito con nuove caratteristiche. Rimane ancora uno "sfizio": l'equazione x2+1=0 non si lascia proprio trattare, cioè non ha soluzioni. In realtà la richiesta che essa abbia soluzioni è proprio strana, in quanto dovrei trovare un numero il cui quadrato sia negativo e questo è un problema molto più complesso rispetto a quelli che finora abbiamo incontrato. La ricerca di un insieme numerico in cui un'equazione come questa abbia soluzioni ha però successo e addirittura produce un insieme di numeri che ha molte straordinarie proprietà: l'insieme dei numeri complessi.