Goldbach, Mersenne, gemelli ...

Esistono numerosi problemi aperti sui numeri primi, oltre all'ipotesi di Riemann. E' praticamente impossibile elencarli tutti, e questo esulerebbe dallo scopo di queste pagine, citeremo solo alcuni di quelli storicamente più famosi, rimandando chi ha interessi specifici ai moltissimi siti specializzati (es http://www.utm.edu/research/primes/)

Per quanto riguarda i numeri di Fermat rimandiamo ad una apposita pagina, in questo stesso sito.

Nel 1742 in una lettera che Christian Goldbach, un matematico dilettante tedesco che viveva a Mosca, scrisse a Eulero (la corrispondenza tra il grande Eulero e Goldbach fu molto fitta) si trova l'ipotesi che ogni numero pari, maggiore di 4, si possa scrivere come somma di due primi dispari. La cosa è facilmente verificabile per i primi numeri pari: 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5=7+3, 12=5+7, ..., 60=7+53=13+47=17+43=19+41=..., ...ed è oggi stata verificata, al computer, per numeri fino ad alcune centinaia di migliaia di miliardi, ma questo, naturalmente, non conta nulla. L'ipotesi è oggi nota come congettura di Goldbach, e aspetta di essere provata.

Il monaco francese Marin Mersenne (1588-1648) e Pierre de Fermat, entrambi matematici dilettanti tenevano una fitta corrispondenza sulle loro scoperte (o presunte tali) matematiche. Fermat si era occupato dei numeri del tipo 2ⁿ+1, Mersenne si occupò invece dei numeri 2ⁿ-1, arrivando facilmente a concludere che potevano essere primi solo se n lo era. Purtroppo ciò non bastava, come aveva già provato Huldaricus Regius nel 1536, mostrando che 2¹¹-1=2047 è uguale a 23·89. Mersenne affermò però che, per n≤257, 2ⁿ-1 era primo se, e solo se, n apparteneva all'insieme {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257}. Come potesse Mersenne affermare che il numero di 77 cifre 2²⁵⁷-1 era primo, è sempre rimasto un mistero. La primalità dei numeri corrispondenti ai casi n=13, 17, 19 era già nota (per il primo dal 1456 ad opera di un anonimo e per gli altri due dal 1600 circa ad opera di Pietro Cataldi). La primalità di 2³¹-1 fu invece provata solo da Eulero un secolo più tardi, nel 1772. Un altro secolo dopo (1872) fu verificata anche la primalità di 2¹²⁷-1 e qualche anno più tardi si trovò che anche 2⁶¹-1 era primo. La lista di Mersenne non era esatta! Calcoli successivi permettono di concludere che la lista corretta è: {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127}. Oggi si conoscono 41 numeri di Mersenne primi: l'ultimo è un numero di oltre sette milioni di cifre, 2^24036583-1, e ci stiamo avvicinando alla soglia del numero primo da dieci milioni di cifre, per cui è stato offerto un premio di 100000 dollari dalla Electronic Frontier Foundation. Il problema di Mersenne è oggi diventato: esistono o no infiniti numeri di Mersenne primi?

3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19 sono coppie di numeri primi che distano di 2 unità (meno di così non si può, visto che, escluso 2, nessun altro pari può essere primo). Questi numeri si chiamano primi gemelli. Ebbene uno dei problemi insoluti è:  esistono o no infinite coppie di numeri gemelli? Si deve ricordare che, più ci si allontana dallo zero nei numeri naturali, più i numeri primi diventano radi e quindi coppie di numeri siffatti diventano ancora più rade.