La funzione ha un comportamento molto interessante per quanto riguarda il problema della approssimazione con polinomi. Non è difficile provare, infatti, che essa è indefinitamente derivabile e che tutte le sue derivate sono nulle nell'origine. Questo significa che il suo polinomio di Taylor, di punto iniziale 0, è il polinomio nullo, indipendentemente dall'ordine voluto. In altri termini questo significa che l'unica approssimazione accettabile della funzione con un polinomio, in un intorno dell'origine, è quella con il polinomio nullo, cioè con la retta tangente.
Questa particolarità della funzione considerata ci consente di costruire altri esempi interessanti. Sia data, per esempio, la . E' immediato che il suo polinomio di Taylor, di ordine n=2k+1, coincide con quello della funzione seno: .
Utilizzando i link sottostanti puoi visualizzare la funzione g(x) (in rosso) e i polinomi approssimanti di diverso ordine (in blu), verificando che, all'aumentare del grado del polinomio, il grafico si "adagia" sempre meglio e su un intervallo sempre più grande sul grafico della funzione sin(x), che non coincide affatto con quello di g(x): l'aumento del grado del polinomio non modifica la bontà dell'approssimazione già fornita dalla tangente.
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