Per la funzione x exp(-x2) il polinomio di Taylor, di ordine n = 2k si ottiene facilmente sostituendo (-x2) al posto di x nel polinomio relativo ad ex:
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Utilizzando i link sottostanti puoi visualizzare la funzione exp(-x2) (in rosso) e i polinomi approssimanti di diverso ordine (in blu), verificando che, all'aumentare del grado del polinomio, il grafico si "adagia" sempre meglio e su un intervallo sempre più grande sul grafico della funzione exp(-x2).
uno | due | tre | quattro | cinque | sei | sette |
E' molto interessante confrontare i risultati che si ottengono per questa funzione, dove l'approssimazione con i polinomi di Taylor è del tutto soddisfacente in quanto all'aumentare del grado aumentano sia la precisione di approssimazione sia l'intervallo in cui l'approssimazione è "buona", con i risultati ottenuti per la funzione x 1/(1+x2), dove invece l'accettabilità dell'approssimazione rimane "confinata" ad un intervallo limitato, senza estendersi al dominio della funzione. La differenza drastica di comportamento è tanto più significativa se si esaminano i grafici qui sotto che provano che l'andamento essenziale dei grafici delle due funzioni, è molto simile. La differenza di comportamento può essere compresa solo ragionando sul campo complesso, dove si vede che la funzione z 1/(1+z2) ha due "poli" nei punti ±i, mentre la funzione z exp(-z2) non ha poli.