La funzione tangente è definita su , e fornisce valori su tutto R; ciò significa che la funzione arctan(tan(x)) non è definita su R, e quindi non può essere l'identità su R; la cosa è ulteriormente confermata dal fatto che arctangente ha solo l'intervallo come codominio. Se ne deduce che il fatto che le due funzioni arctangente e tangente non sono una l'inversa dell'altra ha, in questa composizione, importanti conseguenze.
Per capire come vanno le cose osserviamo innanzitutto che la funzione tangente è periodica di periodo π e quindi basterà limitare l'indagine ad un intervallo ampio π: poiché l'arctangente è l'inversa della tangente ristretta a ,sceglieremo proprio questo intervallo. Basterà invocare le note proprietà delle funzioni inverse per concludere che la funzione considerata è semplicemente l'identità di . La cosa è provata dinamicamente dall'animazione qui sotto: mentre il punto P descrive il tratto , il punto R, che descrive la funzione composta arctanotan, percorre il corrispondente tratto della bisettrice y=x.
Qui sotto è rappresentato il grafico complessivo, ottenuto per periodicità.
É facile rendersi conto analiticamente del risultato ottenuto dinamicamente.
I due grafici qui sotto riportano la situazione per x nell'intervallo ; per gli altri x basta invocare la periodicità della funzione tangente.