La funzione tan(arctan(x))

Se le funzioni tangente e arctangente fossero una l'inversa dell'altra non ci sarebbe molto da dire relativamente alla funzione composta tan(arctan(x)): basterebbe solo osservare che, in accordo con la regola generale sulle funzioni inverse si otterrebbe l'identità sul dominio di arctangente, cioè su tutto R. Poiché però l'arctangente è l'inversa di una restrizione della funzione tangente, una precisazione si rende opportuna.

Dato un reale x dell'intervallo qualunque, la funzione arctangente produce un reale dell'intervallo , e questo è esattamente l'intervallo a cui abbiamo ristretto la funzione tangente per poterla invertire. Se ne deduce che la funzione in oggetto è proprio l'identità su R: una situazione molto più semplice di quello che succede con le funzioni sin(arcsin(x)) e cos(arccos(x)).

L'animazione qui sotto, ottenuta con la regola per tracciare graficamente la composta di due funzioni, visualizza dinamicamente questo fatto: mentre il punto P varia in su tutto R, il punto Q, che descrive il grafico della funzione composta
tan(arctan((x)), traccia tutta la bisettrice y=x.