Indagini sulla continuità - 3
Consideriamo la funzione 
, definita su tutto
il piano tranne i punti appartenenti all'iperbole
xy = 2. L'esame "a vista" del grafico non
è semplice e per capire bene il problema premettiamo
alcune considerazioni. Intanto osserviamo che la funzione
è "problematica" proprio nei pressi dei punti
appartenenti all'iperbole xy = 2. Tra tutti questi,
i più interessanti sono ±(1,2), dove si
annullano sia il denominatore che il numeratore della frazione
che definisce la funzione. Esaminiamo il comportamento nei
pressi di (1,2), restringendo il dominio per esempio al primo
quadrante. Osserviamo che il numeratore è positivo per
y > 2x, il denominatore per xy
> 2. Se ne deduce che, nel primo quadrante, la funzione ha il
segno qui sotto rappresentato.
Nei pressi di uno dei punti dell'iperbole diversi da (1,2) il numeratore tende ad un valore non nullo, mentre il denominatore tende a zero, per cui la funzione tenderà all'infinito, con il segno opportuno che si evince dal grafico qui sopra tracciato. Lungo la retta y = 2x (tranne il punto (1,2)) la funzione è costantemente nulla, per cui la sua sezione con il piano verticale contenente questa retta sarà una retta a quota zero. Il grafico della funzione e la sezione con questo piano sono rappresentati qui sotto.
Queste osservazioni grafiche già basterebbero per
concludere che il limite della funzione, per x tendente
a (1,2) non può esistere. Proviamo comunque, per una
migliore comprensione, a tracciare un'altra sezione, con il
piano y + x - 3 = 0 (sempre escludendo il
punto (1,2) dalle nostre considerazioni), molto più
"vicino" all'iperbole dove la funzione non
è definita. Nella figura qui sotto è tracciata la
sezione direttamente sull'intera superficie e, per maggiore
chiarezza, mostrando solo una delle due parti in cui la
superficie viene sezionata dal piano. L'equazione della
curva sezione è 
: se x
tende ad 1 la z su questa sezione tende a 3,
confermando il fatto che il limite non può esistere.
Puoi vedere un'immagine dinamica della funzione.