Problemi di massimo e minimo - Soluzione 1.4
Calcolare i punti di massimo o minimo per la funzione f(x,y) = x3-6xy+3y2+3 x.
La funzione è elementare con dominio R2, pertanto non presenta problemi di regolarità.
Il gradiente e la matrice Hessiana sono dati da: 
f(x,y) =
(3x2-6y+3,-6x+6y)
e 
. Il gradiente si annulla solo in (1,1),
dove l'Hessiano è nullo. Dobbiamo quindi decidere con
uno studio locale la natura del punto critico trovato.
L'idea è quella di cercare di scrivere la funzione in
modo tale che sia facile valutare i suoi valori rispetto al
valore f(1,1) = 1. Per questo notiamo la presenza di
una sola potenza di grado 3 (x3) e
osserviamo che se facciamo comparire il termine (x-1)
esso sarà positivo a sinistra di 1 e negativo a destra.
Otteniamo f(x,y) =
(x-1)3+3x2+1-6xy+3
y2. I primi tre termini fuori dal cubo si
possono raggruppare in un quadrato. Si ottiene
f(x,y) =
(x-1)3+3(x-y)2+1.
Se consideriamo i punti della retta x=y (che passa per
il punto critico trovato), a sinistra del punto 1 otteniamo
valori più piccoli di 1, a destra più grandi.
Questo ci basta per concludere che il punto (1,1) non è
né di massimo né di minimo. E' poi facile
decidere che la funzione non può avere né massimo
né minimo assoluto.
Le figure qui sotto mostrano la superficie con alcune curve di livello e la sezione della superficie con il piano x-y=0, che evidenzia la curva sezione e la ragione della non esistenza di un massimo o minimo.
