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Limiti - Uso degli ordini di infinito e infinitesimo

Riportiamo qui solo le nozioni essenziali utili per il calcolo dei limiti, senza alcuna pretesa di completezza, e in maniera completamente informale. Segnaliamo che la nomenclatura qui introdotta non è universalmente adottata, e potrebbe essere notevolmente "razionalizzata".

Supporremo che le funzioni di cui ci occupiamo siano diverse da zero in un intorno di un punto c, escluso eventualmente c.

Definizioni fondamentali

Si noti che, per gli infinitesimi, essere di ordine superiore significa essere, in un intorno di c, "infinitamente più piccolo", mentre per gli infiniti essere di ordine superiore significa essere, in un intorno di c, "infinitamente più grande"; il contrario per il concetto di ordine inferiore.

Principio di sostituzione

L'applicazione dei concetti sopra introdotti al calcolo dei limiti si basa sul cosiddetto principio di sostituzione, di cui enunciamo qui una forma semplificata.

In sostanza il teorema afferma che, nel calcolo del limite di un rapporto di infinitesimi o di infiniti si possono trascurare gli infinitesimi di ordine superiore e gli infiniti di ordine inferiore. Si tratta di un teorema che, se ben applicato, consente notevoli semplificazioni nel calcolo dei limiti.

Ordini rispetto ad un campione

Alcuni casi importanti (conseguenze di limiti notevoli)

Il simbolo "o piccolo"

Il simbolo o piccolo, introdotto da Edmund Landau (nel 1909) è molto usato nella teoria degli infiniti ed infinitesimi. Si dà la seguente definizione: f è o piccolo di g, per xc, se img.

In sostanza dire che  f è o piccolo di g, significa dire che f è "infinitamente più piccola" di g, ovvero che è, se infinitesimo, di ordine superiore, se infinito, di ordine inferiore. Con questa notazione il principio di sostituzione si può enunciare semplicemente dicendo che si possono "trascurare gli o piccolo", in un calcolo di limiti coinvolgenti infiniti o infinitesimi.

Algebra degli infiniti ed infinitesimi

pagina pubblicata il 06/12/2004 - ultimo aggiornamento il 06/12/2004