Limiti - Brevi richiami teorici
Il calcolo dei limiti per le funzioni reali di variabile reale è quasi sempre un problema molto complesso e non è possibile fornire regole generali: in questa pagina ne riportiamo alcune, tra le più importanti, ricordando che solo risolvendo un elevato numero di esercizi si può acquisire una ragionevole dimestichezza. Per una trattazione teorica del problema dei limiti si può consultare, in questo sito, una sezione apposita, in italiano, e una trattazione più elementare, in inglese.
Le operazioni sulla retta reale estesa
- a ± (+∞) = ±∞;
-
a ± (-∞) =
∞;
- (+∞) + (+∞) = +∞;
- (-∞) + (-∞) = -∞;
- A×(∞) = ∞ (con la usuale regola dei segni);
- (∞)×(∞) = ∞ (con la usuale regola dei segni);
-
(con la usuale
regola dei segni; anche 0 può avere un segno!);
-
;
-
(con la usuale
regola dei segni).
Le forme indeterminate
- (+∞) - (+∞); (-∞) + (+∞); (-∞) - (-∞); (+∞) + (-∞). In generale: "∞ - ∞".
- 0×(∞)
-
-
- 1∞
- 00
- ∞0
Osservazione
Nel calcolo dei limiti di funzioni del tipo f(x)g(x) (funzioni che hanno la x "sia alla base che all'esponente") è quasi sempre conveniente ricorrere al cambiamento di base: f(x)g(x) = eg(x)lnf(x). Questo consente di ridurre il problema del calcolo del limite di una potenza a quello di un prodotto e, conseguentemente, di trasformare le ultime tre forme indeterminate sopra citate nella seconda, cioè 0×(∞).
Uso del cambiamento di variabile
Sotto opportune
ipotesi è possibile operare nel calcolo dei limiti un
cambiamento di variabile, come si fa nella risoluzione di
equazioni. L'idea è questa: se si deve calcolare il
e
se 
, si può "porre" g(x) = t e
provare a calcolare 
. La "sostituzione" è
possibile nella grande maggioranza (attenzione: ci sono delle
eccezioni!) dei casi e si può fare anche se c
e/o m sono infiniti.
Uso dei limiti notevoli
Puoi vedere un elenco dei più importanti limiti notevoli. E' molto importante l'uso dei limiti notevoli abbinato al cambiamento di variabile.
Uso della regola di l'Hôpital
Per una trattazione dettagliata consulta la pagina sul teorema di l'Hôpital.
Uso degli ordini di infinito ed infinitesimo
Si tratta di una tecnica molto efficiente. Per una trattazione più dettagliata, consulta la pagina sugli infiniti ed infinitesimi.
Uso della formula di Taylor
Si tratta di una delle tecniche più redditizie. Per una trattazione più dettagliata, consulta la pagina sull'uso della formula di Taylor.