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Progressioni aritmetiche

Si chiama progressione aritmetica una successione di tre o più numeri, tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.

La differenza costante di cui sopra si chiama ragione della progressione e si indica con d (da differenza). È ovvio che si può supporre d≠0, perché altrimenti tutti i termini della progressione sarebbero uguali. La progressione si può allora scrivere:

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La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è data dalla formula:

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Dimostrazione

Per dimostrare la formula in questione conviene prima trovare la somma dei primi p numeri naturali: 1+2+…+(p-1)+p. La somma diventa facile se si associano i termini equidistanti dagli estremi: (1+p)+(2+p-1)+…, in questo modo si ottiene una somma di addendi tutti uguali che valgono (p+1). Se p è pari si hanno p/2 addendi, per cui la somma in questione vale img. Se p è dispari si hanno (p-1)/2 addendi del tipo citato, mentre il termine centrale rimane isolato. Il termine  centrale è, ovviamente, la semisomma dei due estremi: img. Per la somma si ottiene allora: img esattamente come prima.

Si ha ora:

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associando i termini con a1, raccogliendo d e ricordando la somma dei numeri da 1 a (n-1) che abbiamo ricavato sopra, si trova:

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Puoi leggere un interessante aneddoto relativo alla somma dei primi p numeri naturali.

pagina pubblicata il 01/12/2000 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003