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Ruffini e il teorema del resto

Per la maggior parte degli studenti di scuola media superiore il nome di Paolo Ruffini resta legato esclusivamente ad una regoletta pratica per la divisione tra un polinomio e uno speciale binomio di primo grado (del tipo x - a). Si fa così un grave torto ad un grosso personaggio della matematica italiana a cui è dovuta una prima dimostrazione, seppure non del tutto soddisfacente, di uno dei teoremi più famosi della matematica: l'impossibilità di trovare una formula generale, espressa in termini di operazioni algebriche da effettuare sui coefficienti di un'equazione, che permetta di risolvere l'equazione stessa, se il suo grado è superiore al quarto. Il caso trattato da Ruffini, nel 1799, si riferisce all'equazione di quinto grado, mentre il teorema generale è di Abel, che lo provò ad appena diciannove anni. Oggi il teorema è noto con il nome di Abel-Ruffini.

Qui però a noi interessa un altro importante risultato che porta il nome di Paolo Ruffini (assieme a quello di Cartesio), noto anche come Teorema del resto:

Se p è un polinomio a coefficienti in R, l'essere a una radice del polinomio equivale al fatto che il polinomio è divisibile per il binomio di primo grado x - a.

Visualizza la dimostrazione

Dimostrazione del Teorema di Cartesio-Ruffini.

Se p è divisibile per (x - a), si ha p(x) = (x - a)q(x). Da qui segue subito p(a) = 0.

Se viceversa p(a) = 0, dividendo p per (x - a) si trova p(x) = (x - a)q(x) + r. Da qui segue subito r = 0.

Si tratta di un risultato tanto semplice quanto importante. Tra le conseguenze citiamo le seguenti:

E' questo il risultato importante, a livello di scuola media superiore, a cui il nome di Paolo Ruffini dovrebbe essere legato. La regoletta pratica per eseguire la divisione, seppure utile in molte circostanze, non ha un grande interesse strategico e forse sarebbe meglio toglierla direttamente dai programmi di studio: si eviterebbe di vederla applicata nei casi (che sono la maggioranza!), in cui non funziona.

pagina pubblicata il 01/09/2003 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003