Per la maggior parte degli studenti di scuola media superiore il nome di Paolo Ruffini resta legato esclusivamente ad una regoletta pratica per la divisione tra un polinomio e uno speciale binomio di primo grado (del tipo x - a). Si fa così un grave torto ad un grosso personaggio della matematica italiana a cui è dovuta una prima dimostrazione, seppure non del tutto soddisfacente, di uno dei teoremi più famosi della matematica: l'impossibilità di trovare una formula generale, espressa in termini di operazioni algebriche da effettuare sui coefficienti di un'equazione, che permetta di risolvere l'equazione stessa, se il suo grado è superiore al quarto. Il caso trattato da Ruffini, nel 1799, si riferisce all'equazione di quinto grado, mentre il teorema generale è di Abel, che lo provò ad appena diciannove anni. Oggi il teorema è noto con il nome di Abel-Ruffini.
Qui però a noi interessa un altro importante risultato che porta il nome di Paolo Ruffini (assieme a quello di Cartesio), noto anche come Teorema del resto:
Se p è un polinomio a coefficienti in R, l'essere a una radice del polinomio equivale al fatto che il polinomio è divisibile per il binomio di primo grado x - a.
Visualizza la dimostrazione
Dimostrazione del Teorema di Cartesio-Ruffini.
Se p è divisibile per (x - a), si ha p(x) = (x - a)q(x). Da qui segue subito p(a) = 0.
Se viceversa p(a) = 0, dividendo p per (x - a) si trova p(x) = (x - a)q(x) + r. Da qui segue subito r = 0.
Si tratta di un risultato tanto semplice quanto importante. Tra le conseguenze citiamo le seguenti:
E' questo il risultato importante, a livello di scuola media superiore, a cui il nome di Paolo Ruffini dovrebbe essere legato. La regoletta pratica per eseguire la divisione, seppure utile in molte circostanze, non ha un grande interesse strategico e forse sarebbe meglio toglierla direttamente dai programmi di studio: si eviterebbe di vederla applicata nei casi (che sono la maggioranza!), in cui non funziona.