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Numeri perfetti e numeri di Mersenne

Sono perfetti i numeri naturali che sono la somma dei loro divisori. Il primo numero perfetto è 6=1+2+3.

Euclide riuscì a dimostrare, nel libro IX dei suoi elementi, Proposizione 36, che:

Se quanti numeri si voglia, a partire dall'unità, sono formati con una successione a doppia proporzione fin quando la somma di tutti è un primo, e se formiamo un numero moltiplicando questa somma per l'ultimo dei numeri, allora questo prodotto è perfetto.

In termini di notazioni moderne si può scrivere: un numero della forma img è perfetto se img è primo. Infatti, usando la formula per la somma di una progressione geometrica di ragione 2, si ottiene facilmente img.

La dimostrazione di questo fatto è abbastanza semplice. Se img è primo gli unici divisori di p diversi da p, sono i seguenti:  img e img. Non è difficile calcolarne la somma, con la regola relativa alle progressioni geometriche, e verificare che tale somma è p.

É un grosso merito di Euclide l'essere riuscito a completare la stessa dimostrazione solo con metodi geometrici.

Eulero, 2000 anni dopo Euclide, riuscì a dimostrare che la condizione è anche necessaria se ci limitiamo ai perfetti pari. Per i dispari non si sa ancora nulla, ma tutti i prefetti finora trovati sono pari, e si sa che se un perfetto dispari esiste deve essere più grande di 10300.

I numeri della forma img sono detti numeri di Mersenne ed indicati con Mn. In generale questi numeri non sono primi, nemmeno se n è primo ( per esempio M11=2047=89·23). Il più grande numero di Mersenne primo, fino a qualche anno fa, (1998) era M3021377. Non si sa nemmeno se di numeri di Mersenne primi ce ne siano un numero finito o se siano infiniti. 

Potete anche visualizzare un programma javascript per generare numeri perfetti, con qualche ulteriore informazione non contenuta in questa pagina..

pagina pubblicata il 11/10/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003