Il problema del periodo delle funzioni goniometriche (e in
generale del periodo delle funzioni) è molto interessante
e c'è grande confusione in giro. Anche su alcuni
libri di testo famosi ci sono strafalcioni notevoli, ma la
concentrazione di perle che qui riportiamo non ci era
ancora capitata.
Titolo della pagina incriminata:
Ricerca del periodo di funzioni goniometriche non elementari.
Se una funzione xf(x) ha periodo T, allora xf(kx) ha periodo T/k.
Commenti: il periodo è invece T/|k|, se
k≠0. La modifica è solo apparentemente
irrilevante, in quanto è fondamentale, nella
definizione di periodo, che esso sia strettamente
maggiore di zero.
Se una funzione xf(x) ha periodo T, allora x|f(x)| ha periodo T/2 (sen, cos, sec, cosec) o T (tg,
ctg).
Commenti: La cosa è vera per le
funzioni elementari (sen, cos, ecc.), ma non,
generalmente per le altre, e la pagina pare essere
scritta per le funzioni non elementari (anche se il
concetto di "funzione elementare" è
ben lungi dall'essere condiviso). Un esempio per
cui la cosa non è vera è f(x) = sinx +2,
in cui il modulo non differisce per nulla dalla
funzione stessa, per cui non può avere un
diverso periodo.
Se una funzione xf(x) ha periodo T, allora x(f(x))2n ha periodo T/2 (sen, cos, sec,
cosec) o T (tg, ctg).
Commenti: Anche qui la cosa è vera per
le funzioni elementari (sen, cos, ecc.), ma non,
generalmente per le altre. Un controesempio è
dato sempre da f(x) = sinx +2 che ha periodo 2π,
esattamente come il suo quadrato.
Se due funzioni hanno periodo T1 e T2,
allora la loro somma (o differenza) ha periodo uguale al
minimo comune multiplo di T1 e T2.
Commenti: Si tratta dell'errore più
comune per quanto riguarda le funzioni periodiche.
L'errata convinzione nasce, secondo noi, dal fatto
che se una funzione ha periodo T, ha anche periodo kT,
con k intero strettamente positivo. Se allora considero
sin(3x), che ha periodo T1=2π/3 e
sin(5x), che ha periodo T2=2π/5, la
funzione somma, cioè sin(3x) + sin(5x) ha
periodo 2π, che è proprio il più
piccolo multiplo comune dei due periodi. Se però
considero sin(πx), che ha periodo T1=2 e
sin(x), che ha periodo T2=2π, non esiste
alcun multiplo comune dei due periodi: la funzione
somma non è più una funzione periodica.
C'è in realtà una
periodicità solo approssimata.
Poiché 2π ≈ 6.28, se ne deduce
che 7·2π ≈ 44 = 22·2:
allora la funzione somma sarà
approssimativamente periodica di periodo 44. Il
grafico sembra dare ragione a questa
considerazione intuitiva.
Se però disegniamo i grafici di sin(x),
di sin(πx) e della loro somma e andiamo
a vedere che cosa succede intorno al punto di
ascissa 44, ci accorgiamo subito che i tre
grafici non passano per lo stesso punto, per cui
44 non può essere il periodo.
(Osservazione di passaggio: si noti come, a
questo livello di ingrandimento, i tre grafici
appaiano come delle rette.)
Se due funzioni hanno periodo T1 e T2,
allora il loro prodotto ha periodo uguale al minimo comune
multiplo di T1 e T2, se i periodi sono
diversi, ha periodo uguale alla metà di ciascuno, se i
periodi sono uguali.
Commenti: Per quanto riguarda il minimo comune
multiplo si possono ripetere le considerazioni fatte
qui sopra a proposito della somma. Per quanto riguarda
il caso di periodi uguali l'autore è
sicuramente stato tratto in inganno dal fatto che,
poiché sinx e cosx hanno periodo 2π, il loro
prodotto ha periodo π. La cosa non è
però vera in generale: per esempio sinx e cosx+1
hanno periodo 2π, ma il loro prodotto ha ancora
periodo 2π. Questa osservazione ci invita, se ancora
ce ne fosse bisogno, a non
dedurre il generale dal particolare.
Se due funzioni hanno periodo T1 e T2,
allora il loro quoziente ha periodo uguale al minimo comune
multiplo di T1 e T2, se i periodi sono
diversi, ha periodo uguale alla metà di ciascuno, se i
periodi sono uguali.
Commenti: Si possono ripetere le
considerazioni già fatte a proposito del
prodotto.
Se una funzione ha periodo T, allora la sua radice
n-esima ha lo stesso periodo.
Commenti: Qui la critica è veramente
come dividere un capello in quattro. Il problema
è che la radice n-esima di una funzione
potrebbe non essere mai definita, come succede per
√(sinx-2), ...