Sul periodo delle funzioni goniometriche

Il problema del periodo delle funzioni goniometriche (e in generale del periodo delle funzioni) è molto interessante e c'è grande confusione in giro. Anche su alcuni libri di testo famosi ci sono strafalcioni notevoli, ma la concentrazione di perle che qui riportiamo non ci era ancora capitata.

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Ricerca del periodo di funzioni goniometriche non elementari.

• Se una funzione xf(x) ha periodo T, allora xf(kx) ha periodo T/k.
  • Commenti: il periodo è invece T/|k|, se k≠0. La modifica è solo apparentemente irrilevante, in quanto è fondamentale, nella definizione di periodo, che esso sia strettamente maggiore di zero.
• Se una funzione xf(x) ha periodo T, allora x|f(x)| ha periodo T/2 (sen, cos, sec, cosec) o T (tg, ctg).
  • Commenti: La cosa è vera per le funzioni elementari (sen, cos, ecc.), ma non, generalmente per le altre, e la pagina pare essere scritta per le funzioni non elementari (anche se il concetto di "funzione elementare" è ben lungi dall'essere condiviso). Un esempio per cui la cosa non è vera è f(x) = sinx +2, in cui il modulo non differisce per nulla dalla funzione stessa, per cui non può avere un diverso periodo.
• Se una funzione xf(x) ha periodo T, allora x(f(x))²ⁿ ha periodo T/2 (sen, cos, sec, cosec) o T (tg, ctg).
  • Commenti: Anche qui la cosa è vera per le funzioni elementari (sen, cos, ecc.), ma non, generalmente per le altre. Un controesempio è dato sempre da f(x) = sinx +2 che ha periodo 2π, esattamente come il suo quadrato.
• Se due funzioni hanno periodo T₁ e T₂, allora la loro somma (o differenza) ha periodo uguale al minimo comune multiplo di T₁ e T₂.
  • Commenti: Si tratta dell'errore più comune per quanto riguarda le funzioni periodiche. L'errata convinzione nasce, secondo noi, dal fatto che se una funzione ha periodo T, ha anche periodo kT, con k intero strettamente positivo. Se allora considero sin(3x), che ha periodo T₁=2π/3 e sin(5x), che ha periodo T₂=2π/5, la funzione somma, cioè sin(3x) + sin(5x) ha periodo 2π, che è proprio il più piccolo multiplo comune dei due periodi. Se però considero sin(πx), che ha periodo T₁=2 e sin(x), che ha periodo T₂=2π, non esiste alcun multiplo comune dei due periodi: la funzione somma non è più una funzione periodica. C'è in realtà una periodicità solo approssimata.

    Poiché 2π ≈ 6.28, se ne deduce che 7·2π ≈ 44 = 22·2: allora la funzione somma sarà approssimativamente periodica di periodo 44. Il grafico sembra dare ragione a questa considerazione intuitiva.

    

    Se però disegniamo i grafici di sin(x), di  sin(πx) e della loro somma e andiamo a vedere che cosa succede intorno al punto di ascissa 44, ci accorgiamo subito che i tre grafici non passano per lo stesso punto, per cui 44 non può essere il periodo.

    

    (Osservazione di passaggio: si noti come, a questo livello di ingrandimento, i tre grafici appaiano come delle rette.)

    Nascondi questi grafici

• Se due funzioni hanno periodo T₁ e T₂, allora il loro prodotto ha periodo uguale al minimo comune multiplo di T₁ e T₂, se i periodi sono diversi, ha periodo uguale alla metà di ciascuno, se i periodi sono uguali.
  • Commenti: Per quanto riguarda il minimo comune multiplo si possono ripetere le considerazioni fatte qui sopra a proposito della somma. Per quanto riguarda il caso di periodi uguali l'autore è sicuramente stato tratto in inganno dal fatto che, poiché sinx e cosx hanno periodo 2π, il loro prodotto ha periodo π. La cosa non è però vera in generale: per esempio sinx e cosx+1 hanno periodo 2π, ma il loro prodotto ha ancora periodo 2π. Questa osservazione ci invita, se ancora ce ne fosse bisogno, a non dedurre il generale dal particolare.
• Se due funzioni hanno periodo T₁ e T₂, allora il loro quoziente ha periodo uguale al minimo comune multiplo di T₁ e T₂, se i periodi sono diversi, ha periodo uguale alla metà di ciascuno, se i periodi sono uguali.
  • Commenti: Si possono ripetere le considerazioni già fatte a proposito del prodotto.
• Se una funzione ha periodo T, allora la sua radice n-esima ha lo stesso periodo.
  • Commenti: Qui la critica è veramente come dividere un capello in quattro. Il problema è che la radice n-esima di una funzione potrebbe non essere mai definita, come succede per √(sinx-2), ...

Chi fosse interessato ad approfondire il problema della periodicità può vedere la pagina sulle funzioni periodiche.