Sia data una funzione reale di variabile reale, xf(x). Se esiste un numero reale p strettamente positivo, tale che, per ogni x del dominio, x±p sta ancora nel dominio e che f(x+p) = f(x), allora p si dice un periodo per f.
Si noti che, essendo f(x+2p) = f(x+p+p) = f(x+p) = f(x), se p è un periodo, anche 2p (e di conseguenza np, per ogni n naturale non nullo) è un periodo. Da ciò si può dedurre che il dominio della funzione non può essere limitato.
Si noti poi che, essendo f(x) = f((x-p)+p) = f(x-p), la definizione si può scrivere anche f(x±p) = f(x).
Geometricamente la definizione data implica che il grafico di una funzione periodica si può tracciare per ripetizione del grafico ottenuto restringendo il dominio ad un qualunque intervallo di ampiezza p. Il grafico qui sotto può rendere bene l'idea.
Come si vede dagli esempi, e come del resto si deduce dalla definizione, una funzione in generale ha infiniti periodi. Possiamo considerare l'insieme di tutti i periodi di una funzione f, cioè: . Può succedere che l'insieme A abbia un minimo oppure no. Negli esempi precedenti il minimo esiste per le funzioni numero 2 (minimo 2π), 3 (minimo 2), 4 (minimo π), 6 (minimo 1), mentre non esiste per gli esempi 1 e 5, dove invece l'insieme A ha zero come estremo inferiore. Si dà allora la seguente definizione:
Sia data una funzione reale di variabile reale, xf(x) e si consideri l'insieme . Il minimo di A, diciamolo T, se esiste, si chiama minimo periodo o, semplicemente, periodo della funzione f e la funzione stessa si dice periodica di periodo T. Se il minimo di A non esiste la funzione non si dice periodica.
Le più importanti funzioni periodiche che si considerano in matematica sono le funzioni trigonometriche che hanno i seguenti periodi:
E' molto importante nelle applicazioni saper riconoscere le funzioni periodiche da quelle non periodiche ed eventualmente determinare il periodo. Purtroppo la cosa non è semplice e si trovano, anche su testi famosi o su siti web, molti strafalcioni.
Per le applicazioni più comuni ci si può limitare a considerare le funzioni trigonometriche e quelle ottenute da esse mediante somme, prodotti, quozienti o composizioni. Anche con questa limitazione comunque la verifica della periodicità e la ricerca dell'eventuale periodo non sono semplici.
Per renderci conto della difficoltà del problema, è opportuno considerare alcuni esempi.
Le funzioni f(x) = sinx e g(x) = 1-sinx sono entrambe periodiche di periodo 2π. La loro somma è però la funzione costante h(x) = 1 che, come osservato più sopra, non ha un minimo periodo e quindi non viene considerata periodica. Un esempio simile si può costruire con le funzioni f(x) = (sinx)2 e g(x) = (cosx)2, la cui somma è 1.
Le due funzioni f(x) = sinx e g(x) = sin(2x) - sinx sono entrambe periodiche di periodo 2π. La loro somma é la funzione h(x) = sin(2x) che è invece periodica di periodo π.
Le due funzioni f(x) = sinx e g(x) = sin(πx) hanno periodo, rispettivamente, 2π e 2. La loro somma non è nemmeno una funzione periodica. Discorso analogo vale per il prodotto o il quoziente di queste due funzioni.
Le due funzioni f(x) = sinx e g(x) = cosx sono entrambe periodiche di periodo 2π. Il loro quoziente è invece la funzione h(x) = tanx che è periodica di periodo π. Discorso analogo sarebbe vero per il prodotto.
Le due funzioni f(x) = sinx e g(x) = 1 + cosx sono entrambe periodiche di periodo 2π. Il loro quoziente è la funzione h(x) = sinx/(1+cosx) che è ancora periodica di periodo 2π.
La funzione f(x) = sinx è periodica di periodo 2π. Il suo valore assoluto, g(x) = |sinx|, è periodica di periodo π.
La funzione f(x) = sinx + 2 è periodica di periodo 2π. Il suo valore assoluto, g(x) = |sinx+2|, è ancora periodica di periodo 2π.
In generale non si possono stabilire regole per determinare il periodo delle funzioni, e purtroppo nemmeno regole per dedurre il periodo di funzioni ottenute mediante somme, prodotti o composizioni da altre funzioni periodiche. Ci si può solo attenere alle indicazioni di massima che seguono, che vanno però verificate caso per caso.
Le funzioni periodiche giocano un ruolo fondamentale in tutte le applicazioni: basta pensare che la nostra vita è regolata da fenomeni sostanzialmente periodici come il battito del cuore (quando ci sono sbalzi nella durata del periodo ci si comincia a preoccupare!), l'alternarsi del dì e della notte, l'alternarsi delle stagioni, ecc.
Tra le funzioni periodiche giocano un ruolo essenziale, come già detto, quelle trigonometriche. Questa osservazione è molto più profonda di quanto non possa sembrare a prima vista: in sostanza le funzioni seno e coseno sono i modelli di base di tutte le funzioni periodiche, purché non troppo patologiche. Questo fatto è contenuto nell'importantissimo teorema di sviluppabilità di una funzione in serie di Fourier, di cui riportiamo qui solo l'enunciato in forma schematica.
Data una funzione sufficientemente regolare e periodica di periodo 2π, vale, con qualche limitazione, la seguente uguaglianza: . Questo vuol dire che tutte le funzioni periodiche possono essere pensate, entro certi limiti, come combinazioni delle funzioni seno e coseno. Tra le applicazioni più famose di questo teorema citiamo la scomposizione di un suono nei suoi armonici, scomposizione che sta alla base dell'acustica musicale.