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Giuseppe Vitali e il teorema sulle funzioni Riemann-integrabili

Il nome di Vitali (1857-1932) è legato ad un importante teorema sul calcolo integrale, che abitualmente enunciamo così: Una funzione f, limitata in un intervallo [a,b], è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è di misura nulla nel senso di Lebesgue

Come succede per tutti i teoremi che esprimono una condizione necessaria e sufficiente, si tratta di un teorema fondamentale, perché caratterizza le funzioni Riemann.integrabili. La condizione caratteristica considerata nell'enunciato è oltremodo interessante perché è legata alla "quantità " di discontinuità della funzione.

Giuseppe Vitali ha una caratteristica particolare nella storia dei matematici moderni, in quanto ha lavorato per tutta la sua carriera quasi senza contatti con gli altri scienziati, giungendo spesso a risultati fondamentali simultaneamente ed indipendentemente da loro. Forse una maggiore disposizione allo scambio di idee e opinioni con gli altri ricercatori avrebbe consentito a Vitali di ottenere molta maggior fama di quanto non sia poi effettivamente successo.

Anche il teorema di cui si parla in questa pagina fu scoperto simultaneamente anche da Henri Léon Lebesgue (il padre dell'omonima teoria dell'integrazione, molto più generale di quella di Riemann), e per questo è noto generalmente con il nome di Teorema di Vitali-Lebesgue.

Giuseppe Vitali fornisce per primo l'esempio di una funzione non integrabile secondo Lebesgue. Un'altra funzione che porta anche il suo nome è quella più nota come scalinata diabolica.

pagina pubblicata il 28/02/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003